대수 예제

$\arctan (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{2 x}{1 - x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}])$

단계 2.2

$2$ 와 $\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}]$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.2

$1 - x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.7

곱합니다.

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단계 4.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.7.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 9

$- x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 10

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}}$ 에 $\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + \frac{{(2 x)}^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 11.2

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 11.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 11.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 11.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}})}$

단계 11.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 11.7.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}})}$

단계 11.7.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}})}$

단계 11.7.3

$(1 + x) (1 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

단계 11.8

$2 x^{2} + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.8.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

단계 11.8.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

단계 11.8.3

$2 (x^{2}) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

단계 11.9

분모를 간단히 합니다.

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단계 11.9.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

단계 11.9.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

단계 11.9.3

$(1 + x) (1 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

단계 11.9.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (\frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

단계 11.9.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.9.6.1

${(1 + x)}^{2}$ 을 $(1 + x) (1 + x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x) (1 + x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + x) (1 + x)$ 를 전개합니다.

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단계 11.9.6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 (1 + x) + x (1 + x)) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 11.9.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.9.6.3.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.3.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.3.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.3.1.4

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x + x^{2}) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.3.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.4

${(1 - x)}^{2}$ 을 $(1 - x) (1 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) ((1 - x) (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - x) (1 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 11.9.6.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 (1 - x) - x (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 11.9.6.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.9.6.6.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.6.1.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.6.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.6.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.6.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 11.9.6.6.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.6.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.6.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x + 1 x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.6.1.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x + x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.6.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - 2 x + x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.7

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(1 + 2 x + x^{2}) (1 - 2 x + x^{2})$ 를 전개합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.8

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + x^{2} x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 11.9.6.8.1

인수가 항 $2 x \cdot x^{2}$ 과(와) $x^{2} (- 2 x)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 2 x^{2} x + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.8.2

$2 x^{2} x$ 에서 $2 x^{2} x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + 0 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.8.3

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.9.6.9.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9.2

$- 2 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.9.6.9.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9.8

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9.9

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.9.6.9.9.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{2 + 2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.9.9.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.10

$1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.9.6.10.1

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{2} + 0 - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.10.2

$1 + x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.11

$x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 3 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.12

$- 3 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.13

$- 2 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{4} + 2 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.14

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.15

인수분해된 형태로 $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.9.6.15.1

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.15.2

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 u + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.15.3

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 11.9.6.15.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.15.3.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

단계 11.9.6.15.3.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.15.3.4

$a = u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(u + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.6.15.4

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.7

지수를 묶습니다.

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단계 11.9.7.1

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ 와 ${(1 + x)}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

단계 11.9.7.2

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ 와 ${(1 - x)}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.8

공약수를 소거하여 수식 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 11.9.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.8.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.9

${(1 - x)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.9.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

단계 11.9.9.2

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 11.9.10

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 을 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

단계 11.9.11

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 11.9.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)}$

단계 11.9.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)}$

단계 11.9.11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

단계 11.9.12

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 11.9.12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.9.12.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.9.12.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

단계 11.9.12.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

단계 11.9.12.1.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

단계 11.9.12.1.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1}$

단계 11.9.12.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1}$

단계 11.9.12.2

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$

단계 11.9.13

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

단계 11.9.14

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

단계 11.9.15

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.9.15.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

단계 11.9.15.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

단계 11.9.15.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

단계 11.9.15.4

$a = u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

단계 11.9.16

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 11.10

$x^{2} + 1$ 및 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.10.1

$2 (x^{2} + 1)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 11.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.10.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

단계 11.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

단계 11.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{x^{2} + 1}$