대수 예제

$- (y - 4) = x + 9$ , $x - \frac{8}{3} y = 0$

단계 1

각 평면 방정식을 표준형으로 나타냅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- y - - 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

단계 1.1.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- y + 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

단계 1.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- y = x + 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

단계 1.3

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

단계 1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$y$ 와 $\frac{8}{3}$ 을 묶습니다.

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{y \cdot 8}{3} = 0$

단계 1.4.2

$y$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8 y}{3} = 0$

단계 1.5

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- y - x = 5, x - \frac{8 y}{3} = 0$

단계 2

점 $(p, q, r)$ 을 지나고 평면 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ 에 수직인 직선과 평면 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ 가 만나는 점을 구하려면:

1. 평면 $P_{1}$ 과 평면 $P_{2}$ 의 법선벡터가 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ , $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 일 때 내적이 0이 되는지 확인합니다.

2. $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , $z = r + c t$ 이 되도록 매개변수 방정식 세트를 만듭니다.

3. $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 이 되도록 평면 $P_{2}$ 방정식에 이 방정식들을 대입하고 $t$ 에 대해 풉니다.

4. $t$ 값을 사용하여 매개변수 방정식 $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , $z = r + c t$ 를 $t$ 에 대해 풀고 교점 $(x, y, z)$ 를 구합니다.

단계 3

각 평면의 법선벡터를 구하고 두 벡터의 내적을 계산하여 벡터가 이루는 각이 직각인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$P_{1}$ 은 $- y - x = 5$ 입니다. $a x + b y + c z = d$ 형태의 평면 방정식으로부터 법선벡터 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 를 구합니다.

$n_{1} = ⟨ - 1, - 1, 0 ⟩$

단계 3.2

$P_{2}$ 은 $x - \frac{8 y}{3} = 0$ 입니다. $e x + f y + g z = h$ 형태의 평면 방정식으로부터 법선벡터 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 를 구합니다.

$n_{2} = ⟨ 1, - \frac{8}{3}, 0 ⟩$

단계 3.3

법선 벡터의 $x$ , $y$ , $z$ 값의 곱을 더하여 $n_{1}$ 와 $n_{2}$ 의 내적을 계산합니다.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

단계 3.4

내적을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

괄호를 제거합니다.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

단계 3.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

단계 3.4.2.2

$- 1 (- \frac{8}{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 1 (\frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

단계 3.4.2.2.2

$\frac{8}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + \frac{8}{3} + 0 \cdot 0$

단계 3.4.2.3

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 1 + \frac{8}{3} + 0$

단계 3.4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

단계 3.4.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

단계 3.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 8}{3} + 0$

단계 3.4.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 + 8}{3} + 0$

단계 3.4.6.2

$- 3$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{5}{3} + 0$

단계 3.4.7

$\frac{5}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5}{3}$

단계 4

$a$ , $b$ , $c$ 값에 대한 법선벡터 $\frac{5}{3}$ 의 값과 원점 $(0, 0, 0)$ 과 점 $(p, q, r)$ 을 이용해 매개변수 방정식 $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , $z = r + c t$ 을 세웁니다. 이 매개변수 방정식은 $P_{1}$ $- y - x = 5$ 에 수직인 원점을 지나는 선을 나타냅니다.

$x = 0 + - 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

단계 5

$P_{2}$ $x - \frac{8 y}{3} = 0$ 식에 수식 $x$ $y$ $z$ 을 대입합니다.

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

단계 6

$t$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$0$ 에서 $1 \cdot t$ 을 뺍니다.

$- 1 \cdot t - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

단계 6.1.1.2

$0$ 에서 $1 \cdot t$ 을 뺍니다.

$- 1 \cdot t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

단계 6.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$- 1 t$ 을 $- t$ 로 바꿔 씁니다.

$- t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

단계 6.1.2.2

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- t - \frac{- 8 t}{3} = 0$

단계 6.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- t - - \frac{8 t}{3} = 0$

단계 6.1.2.4

$- - \frac{8 t}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- t + 1 \frac{8 t}{3} = 0$

단계 6.1.2.4.2

$\frac{8 t}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- t + \frac{8 t}{3} = 0$

단계 6.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- t$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- t \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

단계 6.1.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

$- t$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- t \cdot 3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

단계 6.1.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- t \cdot 3 + 8 t}{3} = 0$

단계 6.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.5.1

$- t \cdot 3 + 8 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.5.1.1

$- t \cdot 3$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + 8 t}{3} = 0$

단계 6.1.5.1.2

$8 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8}{3} = 0$

단계 6.1.5.1.3

$t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t (- 1 \cdot 3 + 8)}{3} = 0$

단계 6.1.5.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{t (- 3 + 8)}{3} = 0$

단계 6.1.5.3

$- 3$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{t \cdot 5}{3} = 0$

단계 6.1.6

$t$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 t}{3} = 0$

단계 6.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$5 t = 0$

단계 6.3

$5 t = 0$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$5 t = 0$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

단계 6.3.2.1.2

$t$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t = \frac{0}{5}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$0$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$t = 0$

단계 7

매개변수 방정식을 $t$ 값을 이용하여 $x$ , $y$ , $z$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

괄호를 제거합니다.

$x = 0 - 1 \cdot 0$

단계 7.1.2

$0$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = 0$

단계 7.2

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

단계 7.2.2

$0$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$y = 0$

단계 7.3

$z$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

괄호를 제거합니다.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

단계 7.3.2

$0 + 0 \cdot (0)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$z = 0 + 0$

단계 7.3.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$z = 0$

단계 7.4

$x$ , $y$ , $z$ 에 대한 매개변수 방정식의 해.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

단계 8

$x$ , $y$ , $z$ 에 대해 계산된 값을 사용하여 구한 교점은 $(0, 0, 0)$ 입니다.

$(0, 0, 0)$