대수 예제

$P (x) = 2 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} + 10 x - 4$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} + 10 x - 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$P (x) = p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$P (x) = \pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

단계 1.3

$0.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $0.5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$0.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$P (x) = 2 \cdot {0.5}^{4} - {0.5}^{3} - 4 \cdot {0.5}^{2} + 10 \cdot 0.5 - 4$

단계 1.3.2

$0.5$ 를 $4$ 승 합니다.

$P (x) = 2 \cdot 0.0625 - {0.5}^{3} - 4 \cdot {0.5}^{2} + 10 \cdot 0.5 - 4$

단계 1.3.3

$2$ 에 $0.0625$ 을 곱합니다.

$P (x) = 0.125 - {0.5}^{3} - 4 \cdot {0.5}^{2} + 10 \cdot 0.5 - 4$

단계 1.3.4

$0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$P (x) = 0.125 - 1 \cdot 0.125 - 4 \cdot {0.5}^{2} + 10 \cdot 0.5 - 4$

단계 1.3.5

$- 1$ 에 $0.125$ 을 곱합니다.

$P (x) = 0.125 - 0.125 - 4 \cdot {0.5}^{2} + 10 \cdot 0.5 - 4$

단계 1.3.6

$0.125$ 에서 $0.125$ 을 뺍니다.

$P (x) = 0 - 4 \cdot {0.5}^{2} + 10 \cdot 0.5 - 4$

단계 1.3.7

$0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$P (x) = 0 - 4 \cdot 0.25 + 10 \cdot 0.5 - 4$

단계 1.3.8

$- 4$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$P (x) = 0 - 1 + 10 \cdot 0.5 - 4$

단계 1.3.9

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$P (x) = - 1 + 10 \cdot 0.5 - 4$

단계 1.3.10

$10$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$P (x) = - 1 + 5 - 4$

단계 1.3.11

$- 1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$P (x) = 4 - 4$

단계 1.3.12

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$P (x) = 0$

단계 1.4

$0.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$P (x) = \frac{2 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} + 10 x - 4}{2 x - 1}$

단계 1.5

$2 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} + 10 x - 4$ 을 $2 x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$P (x) =$

단계 1.5.2

피제수 $2 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$P (x) =$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$P (x) =$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{4} - x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$P (x) =$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$P (x) =$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$P (x) =$

단계 1.5.7

피제수 $- 4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$P (x) =$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$P (x) =$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x^{2} + 2 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$P (x) =$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$P (x) =$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$P (x) =$

단계 1.5.12

피제수 $8 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$P (x) =$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$P (x) =$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $8 x - 4$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$P (x) =$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$P (x) =$

단계 1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$P (x) = x^{3} + 0 x^{2} - 2 x + 4$

단계 1.6

$2 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} + 10 x - 4$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$P (x) = (2 x - 1) (x^{3} + 0 x^{2} - 2 x + 4)$

단계 2

$0$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$P (x) = (2 x - 1) (x^{3} + 0 - 2 x + 4)$

단계 3

$x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$P (x) = (2 x - 1) (x^{3} - 2 x + 4)$

단계 4

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 2 x + 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 2 x + 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$P (x) = p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

단계 4.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$P (x) = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

단계 4.1.3

$- 2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 2$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 2$ 을 다항식에 대입합니다.

$P (x) = {(- 2)}^{3} - 2 \cdot - 2 + 4$

단계 4.1.3.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$P (x) = - 8 - 2 \cdot - 2 + 4$

단계 4.1.3.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$P (x) = - 8 + 4 + 4$

단계 4.1.3.4

$- 8$ 를 $4$ 에 더합니다.

$P (x) = - 4 + 4$

단계 4.1.3.5

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$P (x) = 0$

단계 4.1.4

$- 2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$P (x) = \frac{x^{3} - 2 x + 4}{x + 2}$

단계 4.1.5

$x^{3} - 2 x + 4$ 을 $x + 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.7

피제수 $- 2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{2} - 4 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.12

피제수 $2 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x + 4$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$P (x) =$

단계 4.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$P (x) = x^{2} - 2 x + 2$

단계 4.1.6

$x^{3} - 2 x + 4$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$P (x) = (2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2))$

단계 4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$P (x) = (2 x - 1) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$