대수 예제

$\ln (x^{4} + 27)$

단계 1

$\ln (x^{4} + 27)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{4} + 27$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} + 27$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

단계 2.1.1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

단계 2.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{4} + 27$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

단계 2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

단계 2.1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

단계 2.1.1.2.3

$27$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27$ 입니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

단계 2.1.1.2.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.4.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

단계 2.1.1.2.4.2

$4$ 와 $\frac{1}{x^{4} + 27}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

단계 2.1.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

단계 2.1.2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{4} + 27$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.3.2

$x^{4} + 27$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 가 됩니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.3.5

$27$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27$ 입니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.6.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.3.6.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.4.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.5

$4$ 와 $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.4.1.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.4.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.4.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.4.1.1.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.4.1.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.4.1.3

$3$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.4.1.4

$81$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.4.1.5

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.4.2

$12 x^{6}$ 에서 $16 x^{6}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

단계 2.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

단계 2.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ 에서 $- 4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1.1

$- 4 x^{6}$ 에서 $- 4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

단계 2.2.3.1.1.2

$324 x^{2}$ 에서 $- 4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

단계 2.2.3.1.1.3

$- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ 에서 $- 4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

단계 2.2.3.1.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

단계 2.2.3.1.3

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

단계 2.2.3.1.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 9$ 입니다.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

단계 2.2.3.1.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.5.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

단계 2.2.3.1.5.1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.5.1.2.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

단계 2.2.3.1.5.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

단계 2.2.3.1.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

단계 2.2.3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2.2.3.3

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.3.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.2.3.3.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.3.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.2.3.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.3.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.2.3.3.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.2.3.3.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.2.3.4

$x^{2} + 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.4.1

$x^{2} + 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 9 = 0$

단계 2.2.3.4.2

$x^{2} + 9 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.4.2.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 9$

단계 2.2.3.4.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

단계 2.2.3.4.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.4.2.3.1

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

단계 2.2.3.4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

단계 2.2.3.4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

단계 2.2.3.4.2.3.4

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

단계 2.2.3.4.2.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 3$

단계 2.2.3.4.2.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \pm 3 i$

단계 2.2.3.4.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.4.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3 i$

단계 2.2.3.4.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3 i$

단계 2.2.3.4.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3 i, - 3 i$

단계 2.2.3.5

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.5.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 2.2.3.5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 2.2.3.6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.2.3.6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.2.3.7

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

단계 3

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (x^{4} + 27)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$x^{4} + 27 > 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

부등식의 양변에서 $27$ 를 뺍니다.

$x^{4} > - 27$

단계 3.2.2

좌변이 짝수의 지수를 가지므로 모든 실수에 대해 항상 양입니다.

모든 실수

단계 3.3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 3)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 6$ 을 대입합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 4 {(- 6)}^{6} + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 6$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 5.2.1.2

$- 4$ 에 $46656$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 5.2.1.3

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 5.2.1.4

$324$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 11664}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 5.2.1.5

$- 186624$ 를 $11664$ 에 더합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 6$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

단계 5.2.2.2

$1296$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

단계 5.2.2.3

$1323$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1750329}$

단계 5.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 174960$ 및 $1750329$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$- 174960$ 에서 $729$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

단계 5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.2.1

$1750329$ 에서 $729$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

단계 5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

단계 5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 240}{2401}$

단계 5.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 6) = - \frac{240}{2401}$

단계 5.2.4

최종 답은 $- \frac{240}{2401}$ 입니다.

$- \frac{240}{2401}$

단계 5.3

$f'' (- 6)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, - 3)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 3)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(- 3, 0)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{6} + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 2$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$- 4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2.1.3

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2.1.4

$324$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 1296}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2.1.5

$- 256$ 를 $1296$ 에 더합니다.

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$16$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f'' (- 2) = \frac{1040}{43^{2}}$

단계 6.2.2.3

$43$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = \frac{1040}{1849}$

단계 6.2.3

최종 답은 $\frac{1040}{1849}$ 입니다.

$\frac{1040}{1849}$

단계 6.3

$f'' (- 2)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- 3, 0)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 3, 0)$ 에서 위로 오목함

단계 7

$(0, 3)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f'' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{6} + 324 {(2)}^{2}}{{({(2)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.2

$- 4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.4

$324$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (2) = \frac{- 256 + 1296}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.5

$- 256$ 를 $1296$ 에 더합니다.

$f'' (2) = \frac{1040}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

단계 7.2.2.2

$16$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f'' (2) = \frac{1040}{43^{2}}$

단계 7.2.2.3

$43$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2) = \frac{1040}{1849}$

단계 7.2.3

최종 답은 $\frac{1040}{1849}$ 입니다.

$\frac{1040}{1849}$

단계 7.3

$f'' (2)$ 이 양수이므로 그래프는 $(0, 3)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(0, 3)$ 에서 위로 오목함

단계 8

$(3, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f'' (6) = \frac{- 4 {(6)}^{6} + 324 {(6)}^{2}}{{({(6)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$6$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.2

$- 4$ 에 $46656$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.3

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.4

$324$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 11664}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.5

$- 186624$ 를 $11664$ 에 더합니다.

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$6$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

단계 8.2.2.2

$1296$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

단계 8.2.2.3

$1323$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1750329}$

단계 8.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

$- 174960$ 및 $1750329$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.1

$- 174960$ 에서 $729$ 를 인수분해합니다.

$f'' (6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

단계 8.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.2.1

$1750329$ 에서 $729$ 를 인수분해합니다.

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

단계 8.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

단계 8.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (6) = \frac{- 240}{2401}$

단계 8.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (6) = - \frac{240}{2401}$

단계 8.2.4

최종 답은 $- \frac{240}{2401}$ 입니다.

$- \frac{240}{2401}$

단계 8.3

$f'' (6)$ 이 음수이므로 그래프는 $(3, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(3, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 9

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 3)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 3, 0)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(0, 3)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(3, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 10