대수 예제

$y = 64 {(x - 2)}^{3} - 1$

단계 1

$64 {(x - 2)}^{3} - 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

이항정리 이용

$y = 64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

단계 1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

단계 1.1.2.2

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1$

단계 1.1.2.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1$

단계 1.1.2.4

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1$

단계 1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 6$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

단계 1.1.4.2

$12$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1$

단계 1.1.4.3

$64$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1$

단계 1.2

$- 512$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513$

단계 2

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 19, \pm 27, \pm 57, \pm 171, \pm 513$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

단계 3

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{16}, \pm \frac{1}{32}, \pm \frac{1}{64}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm \frac{3}{16}, \pm \frac{3}{32}, \pm \frac{3}{64}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm \frac{9}{16}, \pm \frac{9}{32}, \pm \frac{9}{64}, \pm 19, \pm \frac{19}{2}, \pm \frac{19}{4}, \pm \frac{19}{8}, \pm \frac{19}{16}, \pm \frac{19}{32}, \pm \frac{19}{64}, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm \frac{27}{8}, \pm \frac{27}{16}, \pm \frac{27}{32}, \pm \frac{27}{64}, \pm 57, \pm \frac{57}{2}, \pm \frac{57}{4}, \pm \frac{57}{8}, \pm \frac{57}{16}, \pm \frac{57}{32}, \pm \frac{57}{64}, \pm 171, \pm \frac{171}{2}, \pm \frac{171}{4}, \pm \frac{171}{8}, \pm \frac{171}{16}, \pm \frac{171}{32}, \pm \frac{171}{64}, \pm 513, \pm \frac{513}{2}, \pm \frac{513}{4}, \pm \frac{513}{8}, \pm \frac{513}{16}, \pm \frac{513}{32}, \pm \frac{513}{64}$

단계 4

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$64 {(\frac{9}{4})}^{3} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = \frac{9}{4}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{9}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$64 \frac{9^{3}}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.2

$9$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 \frac{729}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.3

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.4

$64$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$729 - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.5

$\frac{9}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$729 - 384 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.6

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$729 - 384 \frac{81}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.7

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$729 - 384 (\frac{81}{16}) + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.8

$16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.8.1

$- 384$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$729 + 16 (- 24) \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.8.2

공약수로 약분합니다.

$729 + 16 \cdot - 24 \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.8.3

수식을 다시 씁니다.

$729 - 24 \cdot 81 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.9

$- 24$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$729 - 1944 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

단계 5.1.10

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.10.1

$768$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$729 - 1944 + 4 (192) \frac{9}{4} - 513$

단계 5.1.10.2

공약수로 약분합니다.

$729 - 1944 + 4 \cdot 192 \frac{9}{4} - 513$

단계 5.1.10.3

수식을 다시 씁니다.

$729 - 1944 + 192 \cdot 9 - 513$

단계 5.1.11

$192$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$729 - 1944 + 1728 - 513$

단계 5.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$729$ 에서 $1944$ 을 뺍니다.

$- 1215 + 1728 - 513$

단계 5.2.2

$- 1215$ 를 $1728$ 에 더합니다.

$513 - 513$

단계 5.2.3

$513$ 에서 $513$ 을 뺍니다.

$0$

단계 6

$\frac{9}{4}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - \frac{9}{4}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513}{x - \frac{9}{4}}$

단계 7

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

단계 7.2

피제수 $(64)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

	$64$

단계 7.3

제수 $(\frac{9}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(64)$ 을 곱하여 나온 값 $(144)$ 을 피제수 $(- 384)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$

단계 7.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$	$- 240$

단계 7.5

제수 $(\frac{9}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 240)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 540)$ 을 피제수 $(768)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$

단계 7.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$	$228$

단계 7.7

제수 $(\frac{9}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(228)$ 을 곱하여 나온 값 $(513)$ 을 피제수 $(- 513)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$

단계 7.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$	$0$

단계 7.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$64 x^{2} + - 240 x + 228$

단계 7.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$64 x^{2} - 240 x + 228$

단계 8

$64 x^{2} - 240 x + 228$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$64 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) - 240 x + 228)$

단계 8.2

$- 240 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 228)$

단계 8.3

$228$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 4 (57))$

단계 8.4

$4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57))$

단계 8.5

$4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x + 57))$

단계 9

$64 {(x - 2)}^{3} - 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

이항정리 이용

$64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

단계 9.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

단계 9.1.2.2

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

단계 9.1.2.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

단계 9.1.2.4

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1 = 0$

단계 9.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

단계 9.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.4.1

$- 6$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

단계 9.1.4.2

$12$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

단계 9.1.4.3

$64$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1 = 0$

단계 9.2

$- 512$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513 = 0$

단계 10

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x = \frac{9}{4}$

단계 11