대수 예제

$x^{3} = - i$

단계 1

$x^{3}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$u^{3} = - i$

단계 2

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 3

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 4

실제값인 $a = 0$ 과 $b = - 1$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

단계 5

$| z |$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{1}$

단계 5.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$| z | = 1$

단계 6

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

단계 7

편각이 정의되지 않고 $b$ 가 음수이므로 복소평면에서 점의 각은 $\frac{3 π}{2}$ 입니다.

$θ = \frac{3 π}{2}$

단계 8

$θ = \frac{3 π}{2}$ , $| z | = 1$ 값을 대입합니다.

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 9

방정식의 우변을 삼각함수 형식으로 바꿉니다.

$u^{3} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 10

드무아브르의 정리를 이용해 $u$ 의 식을 찾습니다.

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = - i = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 11

삼각함수 형식의 절대값을 $r^{3}$ 가 되게 하여 $r$ 의 값을 구합니다.

$r^{3} = 1$

단계 12

$r$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$r^{3} - 1 = 0$

단계 12.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$r^{3} - 1^{3} = 0$

단계 12.2.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = r$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 12.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

$r$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

단계 12.2.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

단계 12.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

단계 12.4

$r - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $r$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$r - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$r - 1 = 0$

단계 12.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$r = 1$

단계 12.5

$r^{2} + r + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $r$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

$r^{2} + r + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$r^{2} + r + 1 = 0$

단계 12.5.2

$r^{2} + r + 1 = 0$ 을 $r$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 12.5.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ 을 대입하여 $r$ 를 구합니다.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.3.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.3.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 12.5.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.4.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.4.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 12.5.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 12.5.2.4.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 12.5.2.4.5

$i \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

단계 12.5.2.4.6

$- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

단계 12.5.2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 12.5.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.5.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.5.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 12.5.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 12.5.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 12.5.2.5.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 12.5.2.5.5

$- i \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

단계 12.5.2.5.6

$- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

단계 12.5.2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 12.5.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 12.6

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 13

$r$ 의 근사값을 구합니다.

$r = 1$

단계 14

가능한 $θ$ 값을 구합니다.

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ , $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

단계 15

$3 θ = 2 π n$ 식이 되도록 하는 모든 $θ$ 값 구하기.

$3 θ = 2 π n$

단계 16

$r = 0$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$3 θ = 2 π (0)$

단계 17

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$2 π \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 θ = 0 π$

단계 17.1.2

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$3 θ = 0$

단계 17.2

$3 θ = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

$3 θ = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

단계 17.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

단계 17.2.2.1.2

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{0}{3}$

단계 17.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.3.1

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$θ = 0$

단계 18

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{3} = - i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

단계 19

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

$\cos (0) + i \sin (0)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

단계 19.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

단계 19.2.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

단계 19.2.3

$i$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{0} = 1 + 0$

단계 19.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{0} = 1$

단계 20

오른쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 에 $x^{3}$ 을 대입합니다.

$z_{0} = 0 + 1$

단계 21

$r = 1$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$3 θ = 2 π (1)$

단계 22

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 θ = 2 π$

단계 22.2

$3 θ = 2 π$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.1

$3 θ = 2 π$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

단계 22.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

단계 22.2.2.1.2

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{2 π}{3}$

단계 23

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{3} = - i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

단계 24

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1

$\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 24.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 24.2.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 24.2.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

단계 24.2.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 24.2.5

$i$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

단계 25

오른쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 에 $x^{3}$ 을 대입합니다.

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

단계 26

$r = 2$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$3 θ = 2 π (2)$

단계 27

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 θ = 4 π$

단계 27.2

$3 θ = 4 π$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.1

$3 θ = 4 π$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

단계 27.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

단계 27.2.2.1.2

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{4 π}{3}$

단계 28

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{3} = - i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

단계 29

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1

$\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

단계 29.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

단계 29.2.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

단계 29.2.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

단계 29.2.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 29.2.5

$i$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

단계 30

오른쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 에 $x^{3}$ 을 대입합니다.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

단계 31

$u^{3} = - i$ 에 대한 복소수 해입니다.

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$