대수 예제

$\frac{1}{6 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{6}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{6 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2

$\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{6} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} (- {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 3

분수를 통분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{6}$ 와 ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{6} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 10

분수를 통분합니다.

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단계 10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.4

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 11

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 13

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 14

식을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 14.2

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

단계 16

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 17

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 18

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20

지수를 더하여 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 20.1

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

식을 간단히 합니다.

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단계 21.1

${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + (x - 1) \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.2

$x - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + 2 \cdot (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22

$\frac{x + 2 (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 23

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 24

간단히 합니다.

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단계 24.1

$x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 24.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{x + 2 x + 2 \cdot - 1}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 24.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 24.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x + 2 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 24.3.2

$x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 24.4

항을 묶습니다.

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단계 24.4.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 24.4.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

단계 24.4.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 24.4.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

단계 24.4.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{1})}$

단계 24.4.2

간단히 합니다.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x - 1))}$

단계 24.4.3

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{1}))}$

단계 24.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1})}$

단계 24.4.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}$

단계 24.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}})}$

단계 24.4.7

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{3 x - 2}{12 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$