대수 예제

$f (x) = x^{2} - 81$ $g (x) = {(x - 9)}^{- 1} (x + 9)$

단계 1

합성함수식을 세웁니다.

$f (g (x))$

단계 2

$g$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9))$ 값을 계산합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = {({(x - 9)}^{- 1} (x + 9))}^{2} - 81$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = {(\frac{1}{x - 9} \cdot (x + 9))}^{2} - 81$

단계 3.2

$\frac{1}{x - 9}$ 에 $x + 9$ 을 곱합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = {(\frac{x + 9}{x - 9})}^{2} - 81$

단계 3.3

$\frac{x + 9}{x - 9}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{{(x + 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}} - 81$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 81$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{{(x + 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}} - 81 \cdot \frac{{(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 81$ 와 $\frac{{(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{{(x + 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}} + \frac{- 81 {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{{(x + 9)}^{2} - 81 {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$81 {(x - 9)}^{2}$ 을 ${(9 (x - 9))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{{(x + 9)}^{2} - {(9 (x - 9))}^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x + 9$ 이고 $b = 9 (x - 9)$ 입니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(x + 9 + 9 (x - 9)) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(x + 9 + 9 x + 9 \cdot - 9) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.3.2

$9$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(x + 9 + 9 x - 81) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.3.3

$x$ 를 $9 x$ 에 더합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(10 x + 9 - 81) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.3.4

$9$ 에서 $81$ 을 뺍니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(10 x - 72) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.3.5

$10 x - 72$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.5.1

$10 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(2 (5 x) - 72) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.3.5.2

$- 72$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{(2 (5 x) + 2 (- 36)) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.3.5.3

$2 (5 x) + 2 (- 36)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (x + 9 - (9 (x - 9)))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.3.6

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (x + 9 - 9 (x - 9))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (x + 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.4.2

$- 9$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (x + 9 - 9 x + 81)}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.5

$x$ 에서 $9 x$ 을 뺍니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (- 8 x + 9 + 81)}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.6

$9$ 를 $81$ 에 더합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (- 8 x + 90)}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.7

$- 8 x + 90$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.7.1

$- 8 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (2 (- 4 x) + 90)}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.7.2

$90$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (2 (- 4 x) + 2 (45))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.7.3

$2 (- 4 x) + 2 (45)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) (2 (- 4 x + 45))}{{(x - 9)}^{2}}$

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{2 (5 x - 36) \cdot (2 (- 4 x + 45))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 6.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{4 (5 x - 36) (- 4 x + 45)}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 7

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 4 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{4 (5 x - 36) (- (4 x) + 45)}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 7.2

$45$ 을 $- 1 (- 45)$ 로 바꿔 씁니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{4 (5 x - 36) (- (4 x) - 1 \cdot - 45)}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 7.3

$- (4 x) - 1 (- 45)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{4 (5 x - 36) (- (4 x - 45))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 7.4

식을 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$- (4 x - 45)$ 을 $- 1 (4 x - 45)$ 로 바꿔 씁니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = \frac{4 (5 x - 36) (- 1 (4 x - 45))}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 7.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = - \frac{(4 (5 x - 36)) (4 x - 45)}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 7.4.3

$- \frac{(4 (5 x - 36)) (4 x - 45)}{{(x - 9)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f ({(x - 9)}^{- 1} (x + 9)) = - \frac{4 (5 x - 36) (4 x - 45)}{{(x - 9)}^{2}}$