대수 예제

$y = \tan^{-1} (\sqrt{x})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}}))$

단계 3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (y) = \tan^{-1} (y)$ , $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.2

$\tan^{-1} (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.3

간단히 합니다.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.4

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.10

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

단계 4.12

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{1 + x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} \frac{d}{d y} [x]$

단계 4.13

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} x'$

단계 4.14

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$ 와 $x'$ 을 묶습니다.

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

단계 6

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$

단계 6.2

양변에 $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ 을 곱합니다.

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

단계 6.3.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1

$2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

단계 6.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

단계 6.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

단계 6.3.1.1.3

$x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

단계 6.3.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.2.1

$1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

$2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$

단계 6.3.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

단계 6.3.2.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

단계 6.3.2.1.4

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

단계 6.3.2.1.4.2

$x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

단계 6.3.2.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}}$

단계 6.3.2.1.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

단계 6.3.2.1.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

단계 6.3.2.1.4.5

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

단계 7

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$