대수 예제

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ , $g (y) = 10 x^{3} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $10 x^{3} + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

단계 3.1.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $10 x^{3} + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

단계 3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

단계 3.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

단계 3.5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

단계 3.6

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$\frac{3}{2}$ 와 ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

단계 3.6.2

합의 법칙에 의해 $10 x^{3} + 7$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

단계 3.6.3

$10$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $10 x^{3}$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d y} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

단계 3.7

$f (y) = y^{3}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

단계 3.7.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

단계 3.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

단계 3.8

$3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 (x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

단계 3.9

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [7])$

단계 3.10

$7$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + 0)$

단계 3.11

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

$30 x^{2} x'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x')$

단계 3.11.2

$30$ 와 $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} (x^{2} x')$

단계 3.11.3

$3$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (x^{2} x')$

단계 3.11.4

$x^{2}$ 와 $\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x'$

단계 3.11.5

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2}$ 와 $x'$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2}$

단계 3.11.6

$x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2}$

단계 3.12

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 (1)}$

단계 3.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 \cdot 1}$

단계 3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{1}$

단계 3.12.4

$x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$

단계 3.13

$x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ 인수를 다시 정렬합니다.

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

단계 5.2

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ 의 각 항을 $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ 의 각 항을 $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2.2.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2.2.6

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$