대수 예제

$f (x) = 6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{6}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{6}$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$6 {(\frac{7}{2})}^{4} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = \frac{7}{2}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{7}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$6 \frac{7^{4}}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.2

$7$ 를 $4$ 승 합니다.

$6 \frac{2401}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$6 (\frac{2401}{16}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3) \frac{2401}{16} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.4.2

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{2401}{8}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.5

$3$ 와 $\frac{2401}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot 2401}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.6

$3$ 에 $2401$ 을 곱합니다.

$\frac{7203}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.7

$\frac{7}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{7^{3}}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.8

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{343}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.9

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{7203}{8} - 21 (\frac{343}{8}) - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.10

$- 21 (\frac{343}{8})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.10.1

$- 21$ 와 $\frac{343}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{7203}{8} + \frac{- 21 \cdot 343}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.10.2

$- 21$ 에 $343$ 을 곱합니다.

$\frac{7203}{8} + \frac{- 7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.12

$\frac{7}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.13

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{49}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.14

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 (\frac{49}{4}) + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.15

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.15.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 (- 1) \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.15.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.15.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 1 \cdot 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.16

$- 1$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

단계 4.1.17

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.17.1

$24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 (12) \frac{7}{2} - 35$

단계 4.1.17.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 \cdot 12 \frac{7}{2} - 35$

단계 4.1.17.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 12 \cdot 7 - 35$

단계 4.1.18

$12$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 84 - 35$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 49 + 84 - 35 + \frac{7203 - 7203}{8}$

단계 4.2.2

$7203$ 에서 $7203$ 을 뺍니다.

$- 49 + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

단계 4.3

공통분모를 구합니다.

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단계 4.3.1

$- 49$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- 49}{1} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

단계 4.3.2

$\frac{- 49}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 49}{1} \cdot \frac{8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

단계 4.3.3

$\frac{- 49}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

단계 4.3.4

$84$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} - 35 + \frac{0}{8}$

단계 4.3.5

$\frac{84}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} \cdot \frac{8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

단계 4.3.6

$\frac{84}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

단계 4.3.7

$- 35$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} + \frac{0}{8}$

단계 4.3.8

$\frac{- 35}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{0}{8}$

단계 4.3.9

$\frac{- 35}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35 \cdot 8}{8} + \frac{0}{8}$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 49 \cdot 8 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

단계 4.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$- 49$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{- 392 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

단계 4.5.2

$84$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{- 392 + 672 - 35 \cdot 8}{8}$

단계 4.5.3

$- 35$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{- 392 + 672 - 280}{8}$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 392$ 를 $672$ 에 더합니다.

$\frac{280 - 280}{8}$

단계 4.6.2

$280$ 에서 $280$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{8}$

단계 4.6.3

$0$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$0$

단계 5

$\frac{7}{2}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - \frac{7}{2}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35}{x - \frac{7}{2}}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

단계 6.2

피제수 $(6)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

	$6$

단계 6.3

제수 $(\frac{7}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(6)$ 을 곱하여 나온 값 $(21)$ 을 피제수 $(- 21)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$	$0$

단계 6.5

제수 $(\frac{7}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(0)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(- 4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$	$- 4$

단계 6.7

제수 $(\frac{7}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 14)$ 을 피제수 $(24)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

단계 6.9

제수 $(\frac{7}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(10)$ 을 곱하여 나온 값 $(35)$ 을 피제수 $(- 35)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$6 x^{3} + 0 x^{2} + (- 4) x + 10$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$6 x^{3} - 4 x + 10$

단계 7

$6 x^{3} - 4 x + 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$6 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) - 4 x + 10)$

단계 7.2

$- 4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 10)$

단계 7.3

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (5))$

단계 7.4

$2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5))$

단계 7.5

$2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x + 5))$

단계 8

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x \approx - 1.37173942, \frac{7}{2}$

단계 9