대수 예제

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.1.1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.1.1.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

단계 1.1.1.2.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

단계 1.1.1.2.4.2

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

단계 1.1.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.3.2

$x^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.8

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.9

$2$ 와 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.10.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.10.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.10.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

단계 1.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- 2 x^{2} = - 2$

단계 1.2.3.2

$- 2 x^{2} = - 2$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 2 x^{2} = - 2$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

단계 1.2.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

단계 1.2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

단계 1.2.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.3.1

$- 2$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 1.2.3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 1.2.3.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 1.2.3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 1.2.3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 1.2.3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 2

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (x^{2} + 1)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 1 > 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

부등식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} > - 1$

단계 2.2.2

좌변이 짝수의 지수를 가지므로 모든 실수에 대해 항상 양입니다.

모든 실수

단계 2.3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 2 {(- 4)}^{2} + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 2 \cdot 16 + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.2.1.2

$- 2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 32 + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.2.1.3

$- 32$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{{(16 + 1)}^{2}}$

단계 4.2.2.2

$16$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{17^{2}}$

단계 4.2.2.3

$17$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{289}$

단계 4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 4) = - \frac{30}{289}$

단계 4.2.4

최종 답은 $- \frac{30}{289}$ 입니다.

$- \frac{30}{289}$

단계 4.3

$f'' (- 4)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(- 1, 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2.1.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2.1.3

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

단계 5.2.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

단계 5.2.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

단계 5.2.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (0) = 2$

단계 5.2.4

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- 1, 1)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 1, 1)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(1, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = \frac{- 2 {(4)}^{2} + 2}{{({(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{- 2 \cdot 16 + 2}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$- 2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{- 32 + 2}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.3

$- 32$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (4) = \frac{- 30}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{- 30}{{(16 + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$16$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (4) = \frac{- 30}{17^{2}}$

단계 6.2.2.3

$17$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{- 30}{289}$

단계 6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (4) = - \frac{30}{289}$

단계 6.2.4

최종 답은 $- \frac{30}{289}$ 입니다.

$- \frac{30}{289}$

단계 6.3

$f'' (4)$ 이 음수이므로 그래프는 $(1, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 1, 1)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 8