대수 예제

${(3 a + 2 b)}^{4}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(3 a + 2 b)}^{4}$ 의 경우 $n = 4$ 이므로 전개식의 계수는 선 $5$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ 입니다.

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

단계 3

$a$ $3 a$ 및 $b$ $2 b$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(3 a)}^{4} {(2 b)}^{0} + 4 {(3 a)}^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(3 a)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(3 a)}^{4} {(2 b)}^{0} + 4 {(3 a)}^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.2

$3 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{4} a^{4} {(2 b)}^{0} + 4 {(3 a)}^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.3

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$81 a^{4} {(2 b)}^{0} + 4 {(3 a)}^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.4

$2 b$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 a^{4} (2^{0} b^{0}) + 4 {(3 a)}^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 \cdot 2^{0} a^{4} b^{0} + 4 {(3 a)}^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 \cdot 1 a^{4} b^{0} + 4 {(3 a)}^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.7

$81$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} b^{0} + 4 {(3 a)}^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 a^{4} \cdot 1 + 4 {(3 a)}^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.9

$81$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} + 4 {(3 a)}^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.10

$3 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 a^{4} + 4 (3^{3} a^{3}) {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.11

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$81 a^{4} + 4 (27 a^{3}) {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.12

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} + 108 a^{3} {(2 b)}^{1} + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.13

간단히 합니다.

$81 a^{4} + 108 a^{3} (2 b) + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.14

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 a^{4} + 108 \cdot 2 a^{3} b + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.15

$108$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 6 {(3 a)}^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.16

$3 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 6 (3^{2} a^{2}) {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.17

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 6 (9 a^{2}) {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.18

$9$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 54 a^{2} {(2 b)}^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.19

$2 b$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 54 a^{2} (2^{2} b^{2}) + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.20

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 54 \cdot 2^{2} a^{2} b^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.21

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 54 \cdot 4 a^{2} b^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.22

$54$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 4 {(3 a)}^{1} {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.23

간단히 합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 4 (3 a) {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.24

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 12 a {(2 b)}^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.25

$2 b$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 12 a (2^{3} b^{3}) + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.26

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 12 \cdot 2^{3} a b^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.27

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 12 \cdot 8 a b^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.28

$12$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 96 a b^{3} + 1 {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.29

${(3 a)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 96 a b^{3} + {(3 a)}^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.30

$3 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 96 a b^{3} + 3^{0} a^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.31

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 96 a b^{3} + 1 a^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.32

$a^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 96 a b^{3} + a^{0} {(2 b)}^{4}$

단계 4.33

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 96 a b^{3} + 1 {(2 b)}^{4}$

단계 4.34

${(2 b)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 96 a b^{3} + {(2 b)}^{4}$

단계 4.35

$2 b$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 96 a b^{3} + 2^{4} b^{4}$

단계 4.36

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$81 a^{4} + 216 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} + 96 a b^{3} + 16 b^{4}$