대수 예제

$g (x) = \frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 9}$

단계 1

함수가 우함수인지, 기함수인지, 아니면 둘 다 아닌지를 판단하여 대칭에 대해 알아냅니다.

1. 기함수의 경우, 함수는 원점에 대해 대칭입니다.

2. 우함수의 경우, 함수는 y축에 대해 대칭입니다.

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = \frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} - 9}$

단계 2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 9}$

단계 2.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 3^{2}}$

단계 2.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)}$

단계 3

$f (- x)$ 를 구합니다.

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단계 3.1

$g (x)$ 의 모든 $x$ 을 $- x$ 로 치환하여 $g (- x)$ 을 구합니다.

$g (- x) = \frac{((- x) + 4) ((- x) - 4)}{((- x) + 3) ((- x) - 3)}$

단계 3.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$g (- x) = \frac{(- (x) + 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

단계 3.3

$4$ 을 $- 1 (- 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$g (- x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

단계 3.4

$- (x) - 1 (- 4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$g (- x) = \frac{- (x - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

단계 3.5

$- (x - 4)$ 을 $- 1 (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

단계 3.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x) - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

단계 3.7

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x) - 1 \cdot 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

단계 3.8

$- (x) - 1 (4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x + 4))}{(- x + 3) (- x - 3)}$

단계 3.9

식을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$- (x + 4)$ 을 $- 1 (x + 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- 1 (x + 4))}{(- x + 3) (- x - 3)}$

단계 3.9.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (- x) = \frac{1 (x - 4) (x + 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

단계 3.9.3

$x - 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

단계 3.10

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- (x) + 3) (- x - 3)}$

단계 3.11

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- (x) - 1 \cdot - 3) (- x - 3)}$

단계 3.12

$- (x) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- (x - 3) (- x - 3)}$

단계 3.13

$- (x - 3)$ 을 $- 1 (x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- x - 3)}$

단계 3.14

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x) - 3)}$

단계 3.15

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x) - 1 \cdot 3)}$

단계 3.16

$- (x) - 1 (3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x + 3))}$

단계 3.17

식을 간단히 합니다.

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단계 3.17.1

$- (x + 3)$ 을 $- 1 (x + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- 1 (x + 3))}$

단계 3.17.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{1 (x - 3) (x + 3)}$

단계 3.17.3

$x - 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 3) (x + 3)}$

단계 4

$f (- x) = f (x)$ 인 경우 함수는 우함수입니다.

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단계 4.1

$f (- x) = f (x)$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$\frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)}$ 이므로 이 함수는 우함수입니다.

우함수입니다

단계 5

함수가 기함수가 아니므로, 원점에 대해 대칭이 아닙니다.

원점 대칭 아님

단계 6

함수가 우함수이므로 y축에 대해 대칭입니다.

Y축 대칭

단계 7