대수 예제

$x^{2} - 2 y^{2} = 18$

단계 1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$

단계 2

$- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

단계 2.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$18$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$y^{2} = - 9 + \frac{- x^{2}}{- 2}$

단계 2.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y^{2} = - 9 + \frac{x^{2}}{2}$

단계 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{x^{2}}{2}}$

단계 4

$\pm \sqrt{- 9 + \frac{x^{2}}{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 9$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

단계 4.2

$- 9$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

단계 4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 9 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

단계 4.4

$- 9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 18 + x^{2}}{2}}$

단계 4.5

$\sqrt{\frac{- 18 + x^{2}}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$

단계 4.6

$\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 4.7.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

단계 4.7.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

단계 4.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 4.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

단계 4.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2}$

단계 4.8

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 18 + x^{2}) \cdot 2}}{2}$

단계 4.9

$\pm \frac{\sqrt{(- 18 + x^{2}) \cdot 2}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

단계 5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

단계 5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

단계 5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

단계 6

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$2 (- 18 + x^{2}) \geq 0$

단계 7

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.1

$2 (- 18 + x^{2})$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cdot - 18 + 2 x^{2} \geq 0$

단계 7.1.2

$2$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$- 36 + 2 x^{2} \geq 0$

단계 7.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x = - 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}$

단계 7.3

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3 \sqrt{2}$

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$

$x > 3 \sqrt{2}$

단계 7.4

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 7.4.1

$x < - 3 \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 7.4.1.1

$x < - 3 \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 7$

단계 7.4.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 7$ 로 치환합니다.

$2 (- 18 + {(- 7)}^{2}) \geq 0$

단계 7.4.1.3

좌변 $62$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 7.4.2

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 7.4.2.1

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 7.4.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$2 (- 18 + {(0)}^{2}) \geq 0$

단계 7.4.2.3

좌변 $- 36$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 7.4.3

$x > 3 \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 7.4.3.1

$x > 3 \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 7$

단계 7.4.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $7$ 로 치환합니다.

$2 (- 18 + {(7)}^{2}) \geq 0$

단계 7.4.3.3

좌변 $62$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 7.4.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3 \sqrt{2}$ 참

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ 거짓

$x > 3 \sqrt{2}$ 참

$x < - 3 \sqrt{2}$ 참

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ 거짓

$x > 3 \sqrt{2}$ 참

단계 7.5

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 3 \sqrt{2}$ 또는 $x \geq 3 \sqrt{2}$

단계 8

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 3 \sqrt{2}] \cup [3 \sqrt{2}, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - 3 \sqrt{2}, x \geq 3 \sqrt{2}}$

단계 9