대수 예제

$f (x) = 3 x^{2} + 5$ , $x \geq 0$

단계 1

주어진 함수 치역 구하기

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단계 1.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

$[5, \infty)$

단계 1.2

$[5, \infty)$ 을(를) 부등식으로 변환합니다.

$y \geq 5$

단계 2

역함수를 구합니다.

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단계 2.1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 3 y^{2} + 5$

단계 2.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.2.1

$3 y^{2} + 5 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 y^{2} + 5 = x$

단계 2.2.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$3 y^{2} = x - 5$

단계 2.2.3

$3 y^{2} = x - 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.1

$3 y^{2} = x - 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

단계 2.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

단계 2.2.3.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

단계 2.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = \frac{x}{3} - \frac{5}{3}$

단계 2.2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$

단계 2.2.5

$\pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.2.5.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{3}}$

단계 2.2.5.2

$\sqrt{\frac{x - 5}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$

단계 2.2.5.3

$\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 2.2.5.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.2.5.4.1

$\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 2.2.5.4.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 2.2.5.4.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 2.2.5.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 2.2.5.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 2.2.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.2.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.2.5.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.2.5.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.5.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.2.5.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 2.2.5.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3}$

단계 2.2.5.5

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 3}}{3}$

단계 2.2.5.6

$\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 3}}{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

단계 2.2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

단계 2.2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

단계 2.2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

단계 2.3

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

단계 3

정의역과 원함수의 치역을 사용하여 역수를 구합니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}, x \geq 5$

단계 4