대수 예제

$4 y {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 1

$4$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $4 y {(8 y + 24)}^{- 1}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d y} [y {(8 y + 24)}^{- 1}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d y} [y {(8 y + 24)}^{- 1}]$

단계 2

$f (y) = y$ , $g (y) = {(8 y + 24)}^{- 1}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (y \frac{d}{d y} [{(8 y + 24)}^{- 1}] + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 3

$f (y) = y^{- 1}$ , $g (y) = 8 y + 24$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $8 y + 24$ 로 바꿉니다.

$4 (y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (y (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $8 y + 24$ 로 바꿉니다.

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $8 y + 24$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [24]$ 가 됩니다.

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 4.2

$8$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $8 y$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 4.4

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 4.5

$24$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $24$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $24$ 입니다.

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 + 0)) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} \cdot 8) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 4.6.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

단계 4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1} \cdot 1)$

단계 4.8

${(8 y + 24)}^{- 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2})) + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.2

$- 8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 32 y {(8 y + 24)}^{- 2} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 32 y \frac{1}{{(8 y + 24)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$8 y + 24$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.2.1.1

$8 y$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- 32 y \frac{1}{{(8 (y) + 24)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.2.1.2

$24$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- 32 y \frac{1}{{(8 y + 8 \cdot 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.2.1.3

$8 y + 8 \cdot 3$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- 32 y \frac{1}{{(8 (y + 3))}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.2.2

$8 (y + 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 32 y \frac{1}{8^{2} {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.2.3

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 32 y \frac{1}{64 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.3

$32$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1

$- 32 y$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 (- y) \frac{1}{64 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.3.2

$64 {(y + 3)}^{2}$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 (- y) \frac{1}{32 (2 {(y + 3)}^{2})} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.3.3

공약수로 약분합니다.

$32 (- y) \frac{1}{32 (2 {(y + 3)}^{2})} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- y \frac{1}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.4

$\frac{1}{2 {(y + 3)}^{2}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

단계 5.3.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 y + 24}$

단계 5.3.6

$8 y + 24$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.6.1

$8 y$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 (y) + 24}$

단계 5.3.6.2

$24$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 y + 8 \cdot 3}$

단계 5.3.6.3

$8 y + 8 \cdot 3$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 (y + 3)}$

단계 5.3.7

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.7.1

$8 (y + 3)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{4 (2 (y + 3))}$

단계 5.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{4 (2 (y + 3))}$

단계 5.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + \frac{1}{2 (y + 3)}$