대수 예제

$f (x) = x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(2)}^{4} - 7 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 28 (2) - 48$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 - 7 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 28 (2) - 48$

단계 4.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$16 - 7 \cdot 8 + 8 {(2)}^{2} + 28 (2) - 48$

단계 4.1.3

$- 7$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$16 - 56 + 8 {(2)}^{2} + 28 (2) - 48$

단계 4.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 - 56 + 8 \cdot 4 + 28 (2) - 48$

단계 4.1.5

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 - 56 + 32 + 28 (2) - 48$

단계 4.1.6

$28$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 - 56 + 32 + 56 - 48$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$16$ 에서 $56$ 을 뺍니다.

$- 40 + 32 + 56 - 48$

단계 4.2.2

$- 40$ 를 $32$ 에 더합니다.

$- 8 + 56 - 48$

단계 4.2.3

$- 8$ 를 $56$ 에 더합니다.

$48 - 48$

단계 4.2.4

$48$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$2$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48}{x - 2}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$2$	$1$	$- 7$	$8$	$28$	$- 48$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$2$	$1$	$- 7$	$8$	$28$	$- 48$

	$1$

단계 6.3

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(2)$ 을 피제수 $(- 7)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$1$	$- 7$	$8$	$28$	$- 48$
		$2$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$1$	$- 7$	$8$	$28$	$- 48$
		$2$
	$1$	$- 5$

단계 6.5

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 5)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 10)$ 을 피제수 $(8)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$1$	$- 7$	$8$	$28$	$- 48$
		$2$	$- 10$
	$1$	$- 5$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$1$	$- 7$	$8$	$28$	$- 48$
		$2$	$- 10$
	$1$	$- 5$	$- 2$

단계 6.7

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 2)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 4)$ 을 피제수 $(28)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$1$	$- 7$	$8$	$28$	$- 48$
		$2$	$- 10$	$- 4$
	$1$	$- 5$	$- 2$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$1$	$- 7$	$8$	$28$	$- 48$
		$2$	$- 10$	$- 4$
	$1$	$- 5$	$- 2$	$24$

단계 6.9

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(24)$ 을 곱하여 나온 값 $(48)$ 을 피제수 $(- 48)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$1$	$- 7$	$8$	$28$	$- 48$
		$2$	$- 10$	$- 4$	$48$
	$1$	$- 5$	$- 2$	$24$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$1$	$- 7$	$8$	$28$	$- 48$
		$2$	$- 10$	$- 4$	$48$
	$1$	$- 5$	$- 2$	$24$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{3} + - 5 x^{2} + (- 2) x + 24$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 24$

단계 7

방정식을 풀어 나머지 근을 구합니다.

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단계 7.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 7.1.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 24$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

단계 7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

단계 7.1.1.3

$- 2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 7.1.1.3.1

$- 2$ 을 다항식에 대입합니다.

${(- 2)}^{3} - 5 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 + 24$

단계 7.1.1.3.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 8 - 5 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 + 24$

단계 7.1.1.3.3

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 8 - 5 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + 24$

단계 7.1.1.3.4

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 8 - 20 - 2 \cdot - 2 + 24$

단계 7.1.1.3.5

$- 8$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$- 28 - 2 \cdot - 2 + 24$

단계 7.1.1.3.6

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 28 + 4 + 24$

단계 7.1.1.3.7

$- 28$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 24 + 24$

단계 7.1.1.3.8

$- 24$ 를 $24$ 에 더합니다.

$0$

단계 7.1.1.4

$- 2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 24}{x + 2}$

단계 7.1.1.5

$x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 24$ 을 $x + 2$ 로 나눕니다.

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단계 7.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$24$

단계 7.1.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$

단계 7.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

단계 7.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

단계 7.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

단계 7.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$2 x$

단계 7.1.1.5.7

피제수 $- 7 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$2 x$

단계 7.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$14 x$

단계 7.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 7 x^{2} - 14 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$14 x$

단계 7.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$12 x$

단계 7.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$12 x$	+	$24$

단계 7.1.1.5.12

피제수 $12 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$12 x$	+	$24$

단계 7.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	+	$24$

단계 7.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $12 x + 24$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$12 x$	+	$24$
							-	$12 x$	-	$24$

단계 7.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							+	$12 x$	+	$24$
							-	$12 x$	-	$24$
										$0$

단계 7.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 7 x + 12$

단계 7.1.1.6

$x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 24$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x + 2) (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

단계 7.1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 7 x + 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 7 x + 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $12$ 이고 합은 $- 7$ 입니다.

$- 4, - 3$

단계 7.1.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x + 2) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

단계 7.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 2) (x - 4) (x - 3) = 0$

단계 7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 7.3

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 7.3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 7.4

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 7.4.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 7.5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 7.5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 7.6

$(x + 2) (x - 4) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 4, 3$

단계 8

다항식은 선형 인자의 집합으로 표현할 수 있습니다.

$(x - 2) (x + 2) (x - 4) (x - 3)$

단계 9

다항식 $x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48$ 의 근(해)입니다.

$x = 2, - 2, 4, 3$

단계 10