대수 예제

$f (x) = \frac{3 x^{2} + x - 4}{2 x^{2} - 7 x}$

단계 1

함수가 우함수인지, 기함수인지, 아니면 둘 다 아닌지를 판단하여 대칭에 대해 알아냅니다.

1. 기함수의 경우, 함수는 원점에 대해 대칭입니다.

2. 우함수의 경우, 함수는 y축에 대해 대칭입니다.

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ 이고 합이 $b = 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.1.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 1 x - 4}{2 x^{2} - 7 x}$

단계 2.1.1.2

$1$ 를 $- 3$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$f (x) = \frac{3 x^{2} + (- 3 + 4) x - 4}{2 x^{2} - 7 x}$

단계 2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 3 x + 4 x - 4}{2 x^{2} - 7 x}$

단계 2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$f (x) = \frac{(3 x^{2} - 3 x) + 4 x - 4}{2 x^{2} - 7 x}$

단계 2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$f (x) = \frac{3 x (x - 1) + 4 (x - 1)}{2 x^{2} - 7 x}$

단계 2.1.3

최대공약수 $x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{2 x^{2} - 7 x}$

단계 2.2

$2 x^{2} - 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x) - 7 x}$

단계 2.2.2

$- 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x) + x \cdot - 7}$

단계 2.2.3

$x (2 x) + x \cdot - 7$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x - 7)}$

단계 3

$f (- x)$ 를 구합니다.

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단계 3.1

$f (x)$ 의 모든 $x$ 을 $- x$ 로 치환하여 $f (- x)$ 을 구합니다.

$f (- x) = \frac{((- x) - 1) (3 (- x) + 4)}{(- x) (2 (- x) - 7)}$

단계 3.2

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 3 x + 4)}{- x (2 (- x) - 7)}$

단계 3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 3 x + 4)}{- x (- 2 x - 7)}$

단계 3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- x) = - \frac{(- x - 1) (- 3 x + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.3

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1) (- 3 x + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (- 3 x + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.5

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = - \frac{- (x + 1) (- 3 x + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.6

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 3 x + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.7

$- 3 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (3 x) + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.8

$4$ 을 $- 1 (- 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (3 x) - 1 \cdot - 4)}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.9

$- (3 x) - 1 (- 4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (3 x - 4))}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.10

식을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$- (3 x - 4)$ 을 $- 1 (3 x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 1 (3 x - 4))}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.10.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - \frac{1 (x + 1) (3 x - 4)}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.10.3

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (- 2 x - 7)}$

단계 3.11

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (- (2 x) - 7)}$

단계 3.12

$- 7$ 을 $- 1 (7)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (- (2 x) - 1 \cdot 7)}$

단계 3.13

$- (2 x) - 1 (7)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (- (2 x + 7))}$

단계 3.14

식을 간단히 합니다.

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단계 3.14.1

$- (2 x + 7)$ 을 $- 1 (2 x + 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (- 1 (2 x + 7))}$

단계 3.14.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)}$

단계 3.14.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = 1 (\frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)})$

단계 3.14.4

$\frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)}$

단계 4

$f (- x) = f (x)$ 인 경우 함수는 우함수입니다.

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단계 4.1

$f (- x) = f (x)$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$\frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)}$ $\neq$ $\frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x - 7)}$ 이므로 이 함수는 우함수가 아닙니다.

이 함수는 우함수가 아님

단계 5

$f (- x) = - f (x)$ 인 경우 함수는 기함수입니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $\frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x - 7)}$ 을 곱합니다.

$- f (x) = - \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x - 7)}$

단계 5.2

$\frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)}$ $\neq$ $- \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x - 7)}$ 이므로 이 함수는 기함수가 아닙니다.

이 함수는 기함수가 아님

단계 6

이 함수는 우함수도 기함수도 아님

단계 7

함수가 기함수가 아니므로, 원점에 대해 대칭이 아닙니다.

원점 대칭 아님

단계 8

함수가 우함수가 아니므로, y축에 대해 대칭이 아닙니다.

y축 대칭 없음

단계 9

함수가 기함수도 아니고 우함수도 아니므로, 원점/y축에 대해 대칭이 아닙니다.

함수가 대칭이 아님

단계 10