대수 예제

${(3 x^{2} - 4 y^{4})}^{4}$

단계 1

이항정리를 이용해 각 항을 구합니다. 이항정리에 의하면 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 입니다.

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - k} \cdot {(- 4 y^{4})}^{k}$

단계 2

합을 전개합니다.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 3

전개한 각 항에 대해 지수를 간단히 합니다.

$1 \cdot {(3 x^{2})}^{4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

${(3 x^{2})}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(3 x^{2})}^{4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.2

$3 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{4} {(x^{2})}^{4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.3

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$81 {(x^{2})}^{4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.4

${(x^{2})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$81 x^{2 \cdot 4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} \cdot {(- 4 y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.5

$- 4 y^{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{8} \cdot ({(- 4)}^{0} {(y^{4})}^{0}) + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 \cdot {(- 4)}^{0} x^{8} {(y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.7

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 \cdot 1 x^{8} {(y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.8

$81$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} {(y^{4})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.9

${(y^{4})}^{0}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.9.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$81 x^{8} y^{4 \cdot 0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.9.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} y^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.10

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 x^{8} \cdot 1 + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.11

$81$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.12

$3 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{8} + 4 \cdot (3^{3} {(x^{2})}^{3}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.13

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$81 x^{8} + 4 \cdot (27 {(x^{2})}^{3}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.14

${(x^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.14.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$81 x^{8} + 4 \cdot (27 x^{2 \cdot 3}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.14.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} + 4 \cdot (27 x^{6}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.15

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} + 108 x^{6} \cdot {(- 4 y^{4})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.16

간단히 합니다.

$81 x^{8} + 108 x^{6} \cdot (- 4 y^{4}) + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.17

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 x^{8} + 108 \cdot - 4 x^{6} y^{4} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.18

$108$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.19

$3 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 6 \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.20

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 6 \cdot (9 {(x^{2})}^{2}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.21

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.21.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 6 \cdot (9 x^{2 \cdot 2}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.21.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 6 \cdot (9 x^{4}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.22

$9$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 54 x^{4} \cdot {(- 4 y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.23

$- 4 y^{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 54 x^{4} \cdot ({(- 4)}^{2} {(y^{4})}^{2}) + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.24

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 54 \cdot {(- 4)}^{2} x^{4} {(y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.25

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 54 \cdot 16 x^{4} {(y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.26

$54$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} {(y^{4})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.27

${(y^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.27.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{4 \cdot 2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.27.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.28

간단히 합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 4 \cdot (3 x^{2}) \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.29

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 12 x^{2} \cdot {(- 4 y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.30

$- 4 y^{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 12 x^{2} \cdot ({(- 4)}^{3} {(y^{4})}^{3}) + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.31

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 12 \cdot {(- 4)}^{3} x^{2} {(y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.32

$- 4$ 를 $3$ 승 합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} + 12 \cdot - 64 x^{2} {(y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.33

$12$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} {(y^{4})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.34

${(y^{4})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.34.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{4 \cdot 3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.34.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.35

${(3 x^{2})}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.36

$3 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 3^{0} {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.37

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 1 {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.38

${(x^{2})}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.39

${(x^{2})}^{0}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.39.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + x^{2 \cdot 0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.39.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + x^{0} \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.40

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 1 \cdot {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.41

${(- 4 y^{4})}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + {(- 4 y^{4})}^{4}$

단계 4.42

$- 4 y^{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + {(- 4)}^{4} {(y^{4})}^{4}$

단계 4.43

$- 4$ 를 $4$ 승 합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 256 {(y^{4})}^{4}$

단계 4.44

${(y^{4})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.44.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 256 y^{4 \cdot 4}$

단계 4.44.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$81 x^{8} - 432 x^{6} y^{4} + 864 x^{4} y^{8} - 768 x^{2} y^{12} + 256 y^{16}$