대수 예제

$f (x) = \frac{x^{2} - 81}{x}$

단계 1

함수가 우함수인지, 기함수인지, 아니면 둘 다 아닌지를 판단하여 대칭에 대해 알아냅니다.

1. 기함수의 경우, 함수는 원점에 대해 대칭입니다.

2. 우함수의 경우, 함수는 y축에 대해 대칭입니다.

단계 2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = \frac{x^{2} - 9^{2}}{x}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 9$ 입니다.

$f (x) = \frac{(x + 9) (x - 9)}{x}$

단계 3

$f (- x)$ 를 구합니다.

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단계 3.1

$f (x)$ 의 모든 $x$ 을 $- x$ 로 치환하여 $f (- x)$ 을 구합니다.

$f (- x) = \frac{((- x) + 9) ((- x) - 9)}{- x}$

단계 3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- x) = - \frac{(- x + 9) (- x - 9)}{x}$

단계 3.3

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = - \frac{(- (x) + 9) (- x - 9)}{x}$

단계 3.4

$9$ 을 $- 1 (- 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1 \cdot - 9) (- x - 9)}{x}$

단계 3.5

$- (x) - 1 (- 9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = - \frac{- (x - 9) (- x - 9)}{x}$

단계 3.6

$- (x - 9)$ 을 $- 1 (x - 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x - 9) (- x - 9)}{x}$

단계 3.7

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x - 9) (- (x) - 9)}{x}$

단계 3.8

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x - 9) (- (x) - 1 \cdot 9)}{x}$

단계 3.9

$- (x) - 1 (9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x - 9) (- (x + 9))}{x}$

단계 3.10

식을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$- (x + 9)$ 을 $- 1 (x + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x - 9) (- 1 (x + 9))}{x}$

단계 3.10.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - \frac{1 (x - 9) (x + 9)}{x}$

단계 3.10.3

$x - 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - \frac{(x - 9) (x + 9)}{x}$

단계 4

$f (- x) = f (x)$ 인 경우 함수는 우함수입니다.

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단계 4.1

$f (- x) = f (x)$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$- \frac{(x - 9) (x + 9)}{x}$ $\neq$ $\frac{(x + 9) (x - 9)}{x}$ 이므로 이 함수는 우함수가 아닙니다.

이 함수는 우함수가 아님

단계 5

$f (- x) = - f (x)$ 인 경우 함수는 기함수입니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $\frac{(x + 9) (x - 9)}{x}$ 을 곱합니다.

$- f (x) = - \frac{(x + 9) (x - 9)}{x}$

단계 5.2

$- \frac{(x - 9) (x + 9)}{x} = - \frac{(x + 9) (x - 9)}{x}$ 이므로 이 함수는 기함수입니다.

기함수임

단계 6

함수가 기함수이므로, 원점에 대해 대칭입니다.

원점 대칭

단계 7

함수가 우함수가 아니므로, y축에 대해 대칭이 아닙니다.

y축 대칭 없음

단계 8

함수의 대칭을 판단합니다.

원점 대칭

단계 9