대수 예제

$\frac{8 x}{x + 5}$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{8 y}{y + 5}$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{8 y}{y + 5} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{8 y}{y + 5} = x$

단계 2.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y + 5, 1$

단계 2.2.2

괄호를 제거합니다.

$y + 5, 1$

단계 2.2.3

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y + 5$

단계 2.3

$\frac{8 y}{y + 5} = x$ 의 각 항에 $y + 5$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{8 y}{y + 5} = x$ 의 각 항에 $y + 5$ 을 곱합니다.

$\frac{8 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$y + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

단계 2.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$8 y = x (y + 5)$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 y = x y + x \cdot 5$

단계 2.3.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$8 y = x y + 5 x$

단계 2.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

방정식의 양변에서 $x y$ 를 뺍니다.

$8 y - x y = 5 x$

단계 2.4.2

$8 y - x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$8 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 8 - x y = 5 x$

단계 2.4.2.2

$- x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 8 + y (- x) = 5 x$

단계 2.4.2.3

$y \cdot 8 + y (- x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (8 - x) = 5 x$

단계 2.4.3

$y (8 - x) = 5 x$ 의 각 항을 $8 - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$y (8 - x) = 5 x$ 의 각 항을 $8 - x$ 로 나눕니다.

$\frac{y (8 - x)}{8 - x} = \frac{5 x}{8 - x}$

단계 2.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.2.1

$8 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (8 - x)}{8 - x} = \frac{5 x}{8 - x}$

단계 2.4.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{5 x}{8 - x}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{8 - x}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{8 - x}$ 가 $f (x) = \frac{8 x}{x + 5}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{8 x}{x + 5})}{8 - (\frac{8 x}{x + 5})}$

단계 4.2.3

$5$ 와 $\frac{8 x}{x + 5}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (8 x)}{x + 5}}{8 - \frac{8 x}{x + 5}}$

단계 4.2.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (8 x)}{x + 5}}{\frac{8 (x + 5)}{x + 5} - \frac{8 x}{x + 5}}$

단계 4.2.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (8 x)}{x + 5}}{\frac{8 (x + 5) - 8 x}{x + 5}}$

단계 4.2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (8 x)}{x + 5}}{\frac{- 8 x + 8 (x + 5)}{x + 5}}$

단계 4.2.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{- 8 x + 8 (x + 5)}{x + 5}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.4.1

$- 8 x + 8 (x + 5)$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.4.1.1

$- 8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (8 x)}{x + 5}}{\frac{8 (- x) + 8 (x + 5)}{x + 5}}$

단계 4.2.4.4.1.2

$8 (- x) + 8 (x + 5)$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (8 x)}{x + 5}}{\frac{8 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

단계 4.2.4.4.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (8 x)}{x + 5}}{\frac{8 (0 + 5)}{x + 5}}$

단계 4.2.4.4.3

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (8 x)}{x + 5}}{\frac{8 \cdot 5}{x + 5}}$

단계 4.2.4.5

$8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (8 x)}{x + 5}}{\frac{40}{x + 5}}$

단계 4.2.5

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{\frac{40 x}{x + 5}}{\frac{40}{x + 5}}$

단계 4.2.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{40 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{40}$

단계 4.2.7

$40$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.1

$40 x$ 에서 $40$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{40 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{40}$

단계 4.2.7.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{40 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{40}$

단계 4.2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

단계 4.2.8

$x + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

단계 4.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x + 5}) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{5 x}{8 - x})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{8 (\frac{5 x}{8 - x})}{(\frac{5 x}{8 - x}) + 5}$

단계 4.3.3

$8$ 와 $\frac{5 x}{8 - x}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{\frac{8 (5 x)}{8 - x}}{\frac{5 x}{8 - x} + 5}$

단계 4.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{8 - x}{8 - x}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{\frac{8 (5 x)}{8 - x}}{\frac{5 x}{8 - x} + \frac{5 (8 - x)}{8 - x}}$

단계 4.3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{\frac{8 (5 x)}{8 - x}}{\frac{5 x + 5 (8 - x)}{8 - x}}$

단계 4.3.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{\frac{8 (5 x)}{8 - x}}{\frac{5 x + 5 (8 - x)}{- x + 8}}$

단계 4.3.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{5 x + 5 (8 - x)}{- x + 8}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.4.1

$5 x + 5 (8 - x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.4.1.1

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{\frac{8 (5 x)}{8 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (8 - x)}{- x + 8}}$

단계 4.3.4.4.1.2

$5 (x) + 5 (8 - x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{\frac{8 (5 x)}{8 - x}}{\frac{5 (x + 8 - x)}{- x + 8}}$

단계 4.3.4.4.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{\frac{8 (5 x)}{8 - x}}{\frac{5 (0 + 8)}{- x + 8}}$

단계 4.3.4.4.3

$0$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{\frac{8 (5 x)}{8 - x}}{\frac{5 \cdot 8}{- x + 8}}$

단계 4.3.4.5

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{\frac{8 (5 x)}{8 - x}}{\frac{40}{- x + 8}}$

단계 4.3.5

$8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{\frac{40 x}{8 - x}}{\frac{40}{- x + 8}}$

단계 4.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{40 x}{8 - x} \cdot \frac{- x + 8}{40}$

단계 4.3.7

$40$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$40 x$ 에서 $40$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{40 (x)}{8 - x} \cdot \frac{- x + 8}{40}$

단계 4.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{40 x}{8 - x} \cdot \frac{- x + 8}{40}$

단계 4.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{x}{8 - x} \cdot (- x + 8)$

단계 4.3.8

$\frac{x}{8 - x}$ 에 $- x + 8$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{x (- x + 8)}{8 - x}$

단계 4.3.9

$- x + 8$ 및 $8 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.9.1

항을 다시 정렬합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{x (- x + 8)}{- x + 8}$

단계 4.3.9.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = \frac{x (- x + 8)}{- x + 8}$

단계 4.3.9.3

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{5 x}{8 - x}) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{8 - x}$ 은 $f (x) = \frac{8 x}{x + 5}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{8 - x}$