대수 예제

${(x + \frac{1}{x})}^{5}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$ 의 경우 $n = 5$ 이므로 전개식의 계수는 선 $6$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ 입니다.

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

단계 3

$a$ $x$ 및 $b$ $\frac{1}{x}$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(x)}^{5} {(\frac{1}{x})}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(x)}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(x)}^{5} {(\frac{1}{x})}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.2

$\frac{1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{5} \frac{1}{x^{0}} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{5} \frac{1}{1} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.5

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.6

$x^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.7

간단히 합니다.

$x^{5} + 5 x^{4} \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.8

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.8.1

$5 x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} + x (5 x^{3}) \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.8.2

공약수로 약분합니다.

$x^{5} + x (5 x^{3}) \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.8.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.9

$\frac{1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x^{3} \frac{1^{2}}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x^{3} \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.11

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.11.1

$10 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + x^{2} (10 x) \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.11.2

공약수로 약분합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + x^{2} (10 x) \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.11.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.12

$\frac{1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 x^{2} \frac{1^{3}}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.13

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 x^{2} \frac{1}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.14

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.14.1

$10 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.14.2

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{2} x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.14.3

공약수로 약분합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{2} x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.14.4

수식을 다시 씁니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 \frac{1}{x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.15

$10$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.16

간단히 합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.17

$\frac{1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x \frac{1^{4}}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.18

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x \frac{1}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.19

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.19.1

$5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.19.2

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x \cdot x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.19.3

공약수로 약분합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x \cdot x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.19.4

수식을 다시 씁니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 \frac{1}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.20

$5$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.21

${(x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.22

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.23

${(\frac{1}{x})}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + {(\frac{1}{x})}^{5}$

단계 4.24

$\frac{1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{1^{5}}{x^{5}}$

단계 4.25

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}}$