대수 예제

$\frac{18}{x - 4} = 1 + \frac{20}{x + 4}$

단계 1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\frac{18}{x - 4} - 1 = \frac{20}{x + 4}$

단계 1.2

방정식의 양변에서 $\frac{20}{x + 4}$ 를 뺍니다.

$\frac{18}{x - 4} - 1 - \frac{20}{x + 4} = 0$

단계 2

$\frac{18}{x - 4} - 1 - \frac{20}{x + 4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{18}{x - 4} - 1 \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

단계 2.2

$- 1$ 와 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{18}{x - 4} + \frac{- (x - 4)}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

단계 2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{18 - (x - 4)}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

단계 2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 - x - - 4}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

단계 2.4.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{18 - x + 4}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

단계 2.4.3

$18$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- x + 22}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

단계 2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{- x + 22}{x - 4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + 22}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{20}{x + 4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + 22}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{20}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

단계 2.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - 4) (x + 4)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.7.1

$\frac{- x + 22}{x - 4}$ 에 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- x + 22) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} - \frac{20}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

단계 2.7.2

$\frac{20}{x + 4}$ 에 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- x + 22) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} - \frac{20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.7.3

$(x - 4) (x + 4)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(- x + 22) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(- x + 22) (x + 4) - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + 22) (x + 4)$ 를 전개합니다.

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단계 2.9.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x (x + 4) + 22 (x + 4) - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 4 + 22 (x + 4) - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 4 + 22 x + 22 \cdot 4 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.9.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.9.2.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.9.2.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- (x \cdot x) - x \cdot 4 + 22 x + 22 \cdot 4 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.2.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} - x \cdot 4 + 22 x + 22 \cdot 4 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.2.1.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} - 4 x + 22 x + 22 \cdot 4 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.2.1.3

$22$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} - 4 x + 22 x + 88 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.2.2

$- 4 x$ 를 $22 x$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} + 18 x + 88 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} + 18 x + 88 - 20 x - 20 \cdot - 4}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.4

$- 20$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} + 18 x + 88 - 20 x + 80}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.5

$18 x$ 에서 $20 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 88 + 80}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.6

$88$ 를 $80$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 168}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.7

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.9.7.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 168 = - 168$ 이고 합이 $b = - 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.9.7.1.1

$- 2 x$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 168}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.7.1.2

$- 2$ 를 $12$ + $- 14$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} + (12 - 14) x + 168}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} + 12 x - 14 x + 168}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.9.7.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- x^{2} + 12 x) - 14 x + 168}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.7.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (- x + 12) + 14 (- x + 12)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.9.7.3

최대공약수 $- x + 12$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x + 12) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.10

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (x) + 12) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.11

$12$ 을 $- 1 (- 12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (x) - 1 (- 12)) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.12

$- (x) - 1 (- 12)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 12) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.13

$- (x - 12)$ 을 $- 1 (x - 12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 12) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 2.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(x - 12) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

단계 3

분자가 0과 같게 만듭니다.

$(x - 12) (x + 14) = 0$

단계 4

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 12 = 0$

$x + 14 = 0$

단계 4.2

$x - 12$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.2.1

$x - 12$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 12 = 0$

단계 4.2.2

방정식의 양변에 $12$ 를 더합니다.

$x = 12$

단계 4.3

$x + 14$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.3.1

$x + 14$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 14 = 0$

단계 4.3.2

방정식의 양변에서 $14$ 를 뺍니다.

$x = - 14$

단계 4.4

$(x - 12) (x + 14) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 12, - 14$