대수 예제

$x^{4} - 18 x^{2} + 81 = 0$

단계 1

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81 = 0$

단계 2

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$u^{2} - 18 u + 81 = 0$

단계 3

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.1

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u^{2} - 18 u + 9^{2} = 0$

단계 3.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

단계 3.3

다항식을 다시 씁니다.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2} = 0$

단계 3.4

$a = u$ 이고 $b = 9$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

${(u - 9)}^{2} = 0$

단계 4

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

${(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

단계 5

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

단계 6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

${((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

단계 7

$(x + 3) (x - 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

단계 8

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 9

${(x + 3)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.1

${(x + 3)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 9.2

${(x + 3)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 9.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 10

${(x - 3)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.1

${(x - 3)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 10.2

${(x - 3)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 10.2.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 10.2.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 11

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, 3$