대수 예제

$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

단계 1.2

$x^{4} + 2 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} x + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

단계 1.2.2

$2 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

단계 1.2.3

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (x + 2) - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

단계 1.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 5 \cdot 4 = - 20$ 이고 합이 $b = - 8$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$- 8 x$ 에서 $- 8$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (x + 2) - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

단계 1.3.1.2

$- 8$ 를 $2$ + $- 10$ 로 다시 씁니다.

$x^{3} (x + 2) - 5 x^{2} + (2 - 10) x + 4 = 0$

단계 1.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (x + 2) - 5 x^{2} + 2 x - 10 x + 4 = 0$

단계 1.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$x^{3} (x + 2) - 5 x^{2} + 2 x - 10 x + 4 = 0$

단계 1.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{3} (x + 2) + x (- 5 x + 2) + 2 (- 5 x + 2) = 0$

단계 1.3.3

최대공약수 $- 5 x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$x^{3} (x + 2) + (- 5 x + 2) (x + 2) = 0$

단계 1.4

$x^{3} (x + 2) + (- 5 x + 2) (x + 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x^{3} (x + 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) x^{3} + (- 5 x + 2) (x + 2) = 0$

단계 1.4.2

$(- 5 x + 2) (x + 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) x^{3} + (x + 2) (- 5 x + 2) = 0$

단계 1.4.3

$(x + 2) x^{3} + (x + 2) (- 5 x + 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x^{3} - 5 x + 2) = 0$

단계 1.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 5 x + 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

단계 1.5.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2$

단계 1.5.1.3

$2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $2$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.3.1

$2$ 을 다항식에 대입합니다.

$2^{3} - 5 \cdot 2 + 2$

단계 1.5.1.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 - 5 \cdot 2 + 2$

단계 1.5.1.3.3

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 - 10 + 2$

단계 1.5.1.3.4

$8$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$- 2 + 2$

단계 1.5.1.3.5

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.5.1.4

$2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 5 x + 2}{x - 2}$

단계 1.5.1.5

$x^{3} - 5 x + 2$ 을 $x - 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$2$

단계 1.5.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$

단계 1.5.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

단계 1.5.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

단계 1.5.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

단계 1.5.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$

단계 1.5.1.5.7

피제수 $2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$

단계 1.5.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

단계 1.5.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{2} - 4 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

단계 1.5.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$

단계 1.5.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$	+	$2$

단계 1.5.1.5.12

피제수 $- x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$	+	$2$

단계 1.5.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$	+	$2$
							-	$x$	+	$2$

단계 1.5.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$

단계 1.5.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$
										$0$

단계 1.5.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 2 x - 1$

단계 1.5.1.6

$x^{3} - 5 x + 2$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x + 2) ((x - 2) (x^{2} + 2 x - 1)) = 0$

단계 1.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

단계 3

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 5

$x^{2} + 2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x^{2} + 2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

단계 5.2

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 5.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.4

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.4.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

단계 5.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

단계 5.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

단계 6

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = - 2, 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

소수 형태:

$x = - 2, 2, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

단계 8