대수 예제

$\frac{4}{x^{2} - 1} - 1 = \frac{2 x}{x - 1}$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{2 x}{x - 1}$ 를 뺍니다.

$\frac{4}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{2 x}{x - 1} = 0$

단계 2

$\frac{4}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{2 x}{x - 1}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4}{x^{2} - 1^{2}} - 1 - \frac{2 x}{x - 1} = 0$

단계 2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} - 1 - \frac{2 x}{x - 1} = 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2 x}{x - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - 1 = 0$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 1) (x - 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{2 x}{x - 1}$ 에 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - 1 = 0$

단계 2.3.2

$(x - 1) (x + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 - 2 x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1.1

$4 - 2 x (x + 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.5.1.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2) - 2 x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.1.2

$- 2 x (x + 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2) + 2 (- x (x + 1))}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.1.3

$2 (2) + 2 (- x (x + 1))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 - x (x + 1))}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 - x \cdot x - x \cdot 1)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (2 - (x \cdot x) - x \cdot 1)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (2 - x^{2} - x \cdot 1)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (2 - x^{2} - x)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (- x^{2} - x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.6

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.5.1.6.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.5.1.6.1.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2} - (x) + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.6.1.2

$- 1$ 를 $1$ + $- 2$ 로 다시 씁니다.

$\frac{2 (- x^{2} + (1 - 2) x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (- x^{2} + 1 x - 2 x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.6.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (- x^{2} + x - 2 x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.6.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.5.1.6.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{2 ((- x^{2} + x) - 2 x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.6.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{2 (x (- x + 1) + 2 (- x + 1))}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.1.6.3

최대공약수 $- x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{2 ((- x + 1) (x + 2))}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

$\frac{2 (- x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.2

$- x + 1$ 및 $x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x) + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.2.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1)) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.2.3

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x - 1)) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.2.4

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (x - 1)) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.2.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 1 (x - 1)) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

단계 2.5.2.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot (- 1) (x + 2)}{x + 1} - 1 = 0$

단계 2.5.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 (x + 2)}{x + 1} - 1 = 0$

단계 2.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (x + 2)}{x + 1} - 1 = 0$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 (x + 2)}{x + 1} - 1 \cdot \frac{x + 1}{x + 1} = 0$

단계 2.7

$- 1$ 와 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 (x + 2)}{x + 1} + \frac{- (x + 1)}{x + 1} = 0$

단계 2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 (x + 2) - (x + 1)}{x + 1} = 0$

단계 2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$- 2 (x + 2) - (x + 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.9.1.1

$- 2 (x + 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 (x + 2)) - (x + 1)}{x + 1} = 0$

단계 2.9.1.2

$- (2 (x + 2)) - (x + 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 (x + 2) + x + 1)}{x + 1} = 0$

단계 2.9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- (2 x + 2 \cdot 2 + x + 1)}{x + 1} = 0$

단계 2.9.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- (2 x + 4 + x + 1)}{x + 1} = 0$

단계 2.9.4

$2 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{- (3 x + 4 + 1)}{x + 1} = 0$

단계 2.9.5

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- (3 x + 5)}{x + 1} = 0$

단계 2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 x + 5}{x + 1} = 0$

단계 3

분자가 0과 같게 만듭니다.

$3 x + 5 = 0$

단계 4

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$3 x = - 5$

단계 4.2

$3 x = - 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$3 x = - 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

단계 4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

단계 4.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 5}{3}$

단계 4.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{5}{3}$