대수 예제

$\frac{x^{- 2} - y^{- 2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

$x^{- 2}$ 을 ${(x^{- 1})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(x^{- 1})}^{2} - y^{- 2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.2

$y^{- 2}$ 을 ${(y^{- 1})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(x^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{- 1}$ 이고 $b = y^{- 1}$ 입니다.

$\frac{(x^{- 1} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{(\frac{1}{x} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x y$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.4.5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.5.2

$\frac{1}{y}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.5.3

$y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.9

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.10

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.11

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x y$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.4.11.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.11.2

$\frac{1}{y}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{y x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.11.3

$y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{x y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 1.4.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} + y^{- 1}}$

단계 2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}}$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}}$

단계 2.5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x y$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}}$

단계 2.5.2

$\frac{1}{y}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}}$

단계 2.5.3

$y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}}$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y + x}{x y}}$

단계 3

$\frac{y + x}{x y}$ 에 $\frac{y - x}{x y}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x y)}}{\frac{y + x}{x y}}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

단계 4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x^{1} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

단계 4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1 + 1} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

단계 4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

단계 4.5

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y)}}{\frac{y + x}{x y}}$

단계 4.6

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y^{1})}}{\frac{y + x}{x y}}$

단계 4.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{1 + 1}}}{\frac{y + x}{x y}}$

단계 4.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}}}{\frac{y + x}{x y}}$

단계 5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{x y}{y + x}$

단계 6

$y + x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{x y}{y + x}$

단계 6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - x}{x^{2} y^{2}} (x y)$

단계 7

$x y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

$x^{2} y^{2}$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y - x}{x y (x y)} (x y)$

단계 7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - x}{x y (x y)} (x y)$

단계 7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - x}{x y}$