대수 예제

$\frac{y + 3}{y^{2} + 7 y + 12} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

AC 방법을 이용하여 $y^{2} + 7 y + 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $12$ 이고 합은 $7$ 입니다.

$3, 4$

단계 1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{y + 3}{(y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

단계 1.2

$y + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y + 3}{(y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

단계 1.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{y^{2} - 3^{2}}$

단계 1.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{y + 4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y + 4} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y + 4}{y + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y + 4} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(y + 4) (y + 3) (y - 3)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{y + 4}$ 에 $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 4) ((y + 3) (y - 3))} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

단계 4.2

$\frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$ 에 $\frac{y + 4}{y + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 4) ((y + 3) (y - 3))} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y - 3) (y + 4)}$

단계 4.3

$(y + 4) ((y + 3) (y - 3))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y - 3) (y + 4)}$

단계 4.4

$(y + 3) (y - 3) (y + 4)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(y + 3) (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(y + 3) (y - 3)$ 를 전개합니다.

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단계 6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y (y - 3) + 3 (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6.2

$y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

인수가 항 $y \cdot - 3$ 과(와) $3 y$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{y \cdot y - 3 y + 3 y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6.2.2

$- 3 y$ 를 $3 y$ 에 더합니다.

$\frac{y \cdot y + 0 + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6.2.3

$y \cdot y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y \cdot y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6.3.2

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - 9 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} - 9 - 5 y - 5 \cdot 4}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6.5

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - 9 - 5 y - 20}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

단계 6.6

$- 9$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$\frac{y^{2} - 5 y - 29}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$