대수 예제

$f (x) = 2 x^{2} - x - 1$

단계 1

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$2 x^{2} - x - 1$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 2$

$b = - 1$

$c = - 1$

단계 1.1.1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.1.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

단계 1.1.1.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$d = \frac{- 1}{4}$

단계 1.1.1.3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = - \frac{1}{4}$

단계 1.1.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 1.1.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = - 1 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 1.1.1.4.2.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e = - 1 - \frac{1}{8}$

단계 1.1.1.4.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$e = - 1 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

단계 1.1.1.4.2.3

$- 1$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$e = \frac{- 1 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

단계 1.1.1.4.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e = \frac{- 1 \cdot 8 - 1}{8}$

단계 1.1.1.4.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.2.5.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$e = \frac{- 8 - 1}{8}$

단계 1.1.1.4.2.5.2

$- 8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$e = \frac{- 9}{8}$

단계 1.1.1.4.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e = - \frac{9}{8}$

단계 1.1.1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ 에 대입합니다.

$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$

단계 1.1.2

$y$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$y = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$

단계 1.2

표준형인 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = 2$

$h = \frac{1}{4}$

$k = - \frac{9}{8}$

단계 1.3

$a$ 값이 양수이므로 이 포물선은 위로 열린 형태입니다.

위로 열림

단계 1.4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

단계 1.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 1.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 1.5.3

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8}$

단계 1.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우, 포물선의 초점은 y좌표 $k$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + p)$

단계 1.6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(\frac{1}{4}, - 1)$

단계 1.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$x = \frac{1}{4}$

단계 1.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 y좌표 $k$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수평선입니다.

$y = k - p$

단계 1.8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$y = - \frac{5}{4}$

단계 1.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

초점: $(\frac{1}{4}, - 1)$

대칭축: $x = \frac{1}{4}$

준선: $y = - \frac{5}{4}$

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

초점: $(\frac{1}{4}, - 1)$

대칭축: $x = \frac{1}{4}$

준선: $y = - \frac{5}{4}$

단계 2

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - (- 1) - 1$

단계 2.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 2 - (- 1) - 1$

단계 2.2.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 2 + 1 - 1$

단계 2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- 1) = 3 - 1$

단계 2.2.2.2

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = 2$

단계 2.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 2.3

$x = - 1$ 일 때 $y$ 의 값은 $2$ 입니다.

$y = 2$

단계 2.4

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} - (- 2) - 1$

단계 2.5

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 2) = 2 \cdot 4 - (- 2) - 1$

단계 2.5.1.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 8 - (- 2) - 1$

단계 2.5.1.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 8 + 2 - 1$

단계 2.5.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$8$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 2) = 10 - 1$

단계 2.5.2.2

$10$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = 9$

단계 2.5.3

최종 답은 $9$ 입니다.

$9$

단계 2.6

$x = - 2$ 일 때 $y$ 의 값은 $9$ 입니다.

$y = 9$

단계 2.7

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - (1) - 1$

단계 2.8

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 2 \cdot 1 - (1) - 1$

단계 2.8.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 2 - (1) - 1$

단계 2.8.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 2 - 1 - 1$

단계 2.8.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1) = 1 - 1$

단계 2.8.2.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1) = 0$

단계 2.8.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 2.9

$x = 1$ 일 때 $y$ 의 값은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 2.10

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) - 1$

단계 2.11

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1.1

지수를 더하여 $2$ 에 ${(2)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1.1.1

$2$ 에 ${(2)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) - 1$

단계 2.11.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (2) = 2^{1 + 2} - (2) - 1$

단계 2.11.1.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (2) = 2^{3} - (2) - 1$

단계 2.11.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2) = 8 - (2) - 1$

단계 2.11.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = 8 - 2 - 1$

단계 2.11.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.2.1

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (2) = 6 - 1$

단계 2.11.2.2

$6$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (2) = 5$

단계 2.11.3

최종 답은 $5$ 입니다.

$5$

단계 2.12

$x = 2$ 일 때 $y$ 의 값은 $5$ 입니다.

$y = 5$

단계 2.13

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 9 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{4} & - \frac{9}{8} \\ 1 & 0 \\ 2 & 5 \end{array}$

단계 3

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

초점: $(\frac{1}{4}, - 1)$

대칭축: $x = \frac{1}{4}$

준선: $y = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 9 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{4} & - \frac{9}{8} \\ 1 & 0 \\ 2 & 5 \end{array}$

단계 4