대수 예제

$\frac{2 x^{2} + 13 x + 15}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ 이고 합이 $b = 13$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 1.1.1

$13 x$ 에서 $13$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 (x) + 15}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 1.1.2

$13$ 를 $3$ + $10$ 로 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} + (3 + 10) x + 15}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 10 x + 15}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(2 x^{2} + 3 x) + 10 x + 15}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3)}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 1.3

최대공약수 $2 x + 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$4 x^{2}$ 을 ${(2 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{{(2 x)}^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 2.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{{(2 x)}^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 2.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ 이고 합이 $b = 3$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.1.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 (x) - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 3.1.2

$3$ 를 $- 3$ + $6$ 로 다시 씁니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 3 + 6) x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x + 6 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 3 x) + 6 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{x (2 x - 3) + 3 (2 x - 3)}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 3.3

최대공약수 $2 x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{x^{2} + 2 x - 15}$

단계 4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 15$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 15$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 3, 5$

단계 4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 5)}$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$x + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.1

$(2 x + 3) (x + 5)$ 에서 $x + 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 5) (2 x + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 5)}$

단계 5.1.2

$(x - 3) (x + 5)$ 에서 $x + 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 5) (2 x + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 3)}$

단계 5.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 5) (2 x + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 3)}$

단계 5.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

단계 5.2

$2 x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$(2 x + 3) (2 x - 3)$ 에서 $2 x - 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x + 3}{(2 x - 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x + 3}{(2 x - 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

단계 5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x + 3}{2 x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 3}$

단계 5.3

$\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ 에 $\frac{x + 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 3)}{(2 x + 3) (x - 3)}$

단계 5.4

$2 x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(2 x + 3) (x + 3)}{(2 x + 3) (x - 3)}$

단계 5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 3}{x - 3}$