대수 예제

$f (x) = x + \sqrt{x}$

단계 1

$f (x) = x + \sqrt{x}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = x + \sqrt{x}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = y + \sqrt{y}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y + \sqrt{y} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y + \sqrt{y} = x$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$\sqrt{y} = x - y$

단계 3.3

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

단계 3.4

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

단계 3.4.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

단계 3.4.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

단계 3.4.2.1.2

간단히 합니다.

$y = {(x - y)}^{2}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

${(x - y)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.1

${(x - y)}^{2}$ 을 $(x - y) (x - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = (x - y) (x - y)$

단계 3.4.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - y) (x - y)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

단계 3.4.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

단계 3.4.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

단계 3.4.3.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

단계 3.4.3.1.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

단계 3.4.3.1.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

단계 3.4.3.1.3.1.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.3.1.4.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

단계 3.4.3.1.3.1.4.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

단계 3.4.3.1.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

단계 3.4.3.1.3.1.6

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

단계 3.4.3.1.3.2

$- x y$ 에서 $y x$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.3.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

단계 3.4.3.1.3.2.2

$- x y$ 에서 $x y$ 을 뺍니다.

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$y$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

단계 3.5.2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

단계 3.5.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.5.4

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 2 x - 1$ , $c = x^{2}$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.1.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.1.4

$4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ 을 ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.1.5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = - 2 x - 1$ 이고 $b = 2 \cdot 1 x$ 입니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1.6.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.1.6.2

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.1.6.3

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.1.6.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.1.6.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.1.6.6

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

단계 3.5.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.1.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.1.4

$4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ 을 ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.1.5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = - 2 x - 1$ 이고 $b = 2 \cdot 1 x$ 입니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.6.1.6.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.1.6.2

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.1.6.3

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.1.6.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.1.6.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.1.6.6

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

단계 3.5.6.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

단계 3.5.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.1.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.1.4

$4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ 을 ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.1.5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = - 2 x - 1$ 이고 $b = 2 \cdot 1 x$ 입니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1.6.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.1.6.2

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.1.6.3

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.1.6.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.1.6.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.1.6.6

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.7.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

단계 3.5.7.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

단계 3.5.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ 가 $f (x) = x + \sqrt{x}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = x + \sqrt{x}$ 및 $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = x + \sqrt{x}$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

단계 5.3

$\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

단계 5.3.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

단계 5.3.2.1.2.2

$- 4 x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

단계 5.3.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$- 4 x - 1 \leq 0$

단계 5.3.2.2

부등식 양변에 $1$ 를 더합니다.

$- 4 x \leq 1$

단계 5.3.2.3

$- 4 x \leq 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$- 4 x \leq 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

단계 5.3.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

단계 5.3.2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{1}{- 4}$

단계 5.3.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x \geq - \frac{1}{4}$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

단계 5.4

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ 의 정의역이 $f (x) = x + \sqrt{x}$ 의 치역이 아니면 $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ 는 $f (x) = x + \sqrt{x}$ 의 역함수가 아닙니다.

역함수가 없음

단계 6