대수 예제

$x y^{2} - x + 3 y^{2} + 1 = 0$

단계 1

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$x y^{2} + 3 y^{2} + 1 = x$

단계 1.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x y^{2} + 3 y^{2} = x - 1$

단계 2

$x y^{2} + 3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} x + 3 y^{2} = x - 1$

단계 2.2

$3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} x + y^{2} \cdot 3 = x - 1$

단계 2.3

$y^{2} x + y^{2} \cdot 3$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} (x + 3) = x - 1$

단계 3

$y^{2} (x + 3) = x - 1$ 의 각 항을 $x + 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$y^{2} (x + 3) = x - 1$ 의 각 항을 $x + 3$ 로 나눕니다.

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

단계 3.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 3}$

단계 4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

단계 5

$\pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ 을 $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$

단계 5.2

$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ 에 $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$

단계 5.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ 에 $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}}$

단계 5.3.2

$\sqrt{x + 3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}}$

단계 5.3.3

$\sqrt{x + 3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}}$

단계 5.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}}$

단계 5.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{2}}$

단계 5.3.6

${\sqrt{x + 3}}^{2}$ 을 $x + 3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 3}$ 을(를) ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{1}}$

단계 5.3.6.5

간단히 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{x + 3}$

단계 5.4

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

단계 6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

단계 6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

단계 6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

단계 7

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(x - 1) (x + 3)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(x - 1) (x + 3) \geq 0$

단계 8

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

단계 8.2

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 8.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 8.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 8.3

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 8.3.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 8.3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 8.4

$(x - 1) (x + 3) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 3$

단계 8.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$x > 1$

단계 8.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 8.6.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.6.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 8.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$((- 6) - 1) ((- 6) + 3) \geq 0$

단계 8.6.1.3

좌변 $21$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 8.6.2

$- 3 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.6.2.1

$- 3 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 8.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$((0) - 1) ((0) + 3) \geq 0$

단계 8.6.2.3

좌변 $- 3$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 8.6.3

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.6.3.1

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 8.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$((4) - 1) ((4) + 3) \geq 0$

단계 8.6.3.3

좌변 $21$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 8.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < 1$ 거짓

$x > 1$ 참

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < 1$ 거짓

$x > 1$ 참

단계 8.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 3$ 또는 $x \geq 1$

단계 9

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 3 = 0$

단계 10

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 11

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 3) \cup [1, \infty)$

조건제시법:

${x | x < - 3, x \geq 1}$

단계 12

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

조건제시법:

${y | y \neq 1, - 1}$

단계 13

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 3) \cup [1, \infty), {x | x < - 3, x \geq 1}$

치역: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty), {y | y \neq 1, - 1}$

단계 14