대수 예제

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$

단계 1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 2, 3$

단계 1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + 2}{x + 3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 3) (x - 2)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.1

$\frac{x + 2}{x + 3}$ 에 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 3.2

$(x - 2) (x + 3)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4

항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

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단계 4.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.1.2

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.2.1.2.1

인수가 항 $x \cdot - 2$ 과(와) $2 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.1.2.2

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.1.2.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.3.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.1.3.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 4 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.1.4

$- 4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 9}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.1.5

인수분해된 형태로 $x^{2} - 9$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.2.1.5.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.1.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.2

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x}$

단계 4.3

항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - x}$

단계 4.3.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - (x)}$

단계 4.3.3

$- 1 (- 2) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$

단계 4.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.4.1

$\frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$ 의 분모에서 음수를 분자로 옮깁니다.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 2 + x}$

단계 4.3.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{x - 2}$

단계 4.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x - 3 - 1 \cdot 1}{x - 2}$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 3 - 1}{x - 2}$

단계 5.2

$- 3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{x - 4}{x - 2}$