대수 예제

$| x - 2 | < \frac{8}{x}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{8}{x}$ 를 뺍니다.

$| x - 2 | - \frac{8}{x} < 0$

단계 2

$| x - 2 | - \frac{8}{x}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $| x - 2 |$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{| x - 2 | x}{x} - \frac{8}{x} < 0$

단계 2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x} < 0$

단계 2.3

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x} < 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x = 0$

$x | x - 2 | - 8 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x | x - 2 | = 8$

단계 5

$x | x - 2 | = 8$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x | x - 2 | = 8$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

단계 5.2.1.2

$| x - 2 |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| x - 2 | = \frac{8}{x}$

단계 6

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$x - 2 = \pm \frac{8}{x}$

단계 7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x - 2 = \frac{8}{x}$

단계 7.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = \frac{8}{x} + 2$

단계 7.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, x, 1$

단계 7.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x$

단계 7.4

$x = \frac{8}{x} + 2$ 의 각 항에 $x$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$x = \frac{8}{x} + 2$ 의 각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \cdot x = \frac{8}{x} x + 2 x$

단계 7.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

단계 7.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

단계 7.4.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = 8 + 2 x$

단계 7.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 2 x = 8$

단계 7.5.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

단계 7.5.3

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 2 x - 8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 8$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 4, 2$

단계 7.5.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

단계 7.5.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

단계 7.5.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 7.5.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 7.5.6

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.6.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 7.5.6.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 7.5.7

$(x - 4) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 2$

단계 7.6

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x - 2 = - \frac{8}{x}$

단계 7.7

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = - \frac{8}{x} + 2$

단계 7.8

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, x, 1$

단계 7.8.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x$

단계 7.9

$x = - \frac{8}{x} + 2$ 의 각 항에 $x$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.9.1

$x = - \frac{8}{x} + 2$ 의 각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \cdot x = - \frac{8}{x} x + 2 x$

단계 7.9.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.9.2.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} = - \frac{8}{x} x + 2 x$

단계 7.9.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.9.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.9.3.1.1

$- \frac{8}{x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

단계 7.9.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

단계 7.9.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = - 8 + 2 x$

단계 7.10

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 2 x = - 8$

단계 7.10.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

단계 7.10.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.10.4

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 8$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.5.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.1.2.2

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.1.3

$4$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.1.4

$- 28$ 을 $- 1 (28)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.1.5

$\sqrt{- 1 (28)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.1.7

$28$ 을 $2^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.5.1.7.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

단계 7.10.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

단계 7.10.5.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

단계 7.10.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

단계 7.11

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

단계 8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = 4, - 2$

단계 9

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, 4, - 2$

단계 10

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 10.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$| (- 4) - 2 | < \frac{8}{- 4}$

단계 12.1.3

좌변 $6$ 이 우변 $- 2$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.2

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1$ 로 치환합니다.

$| (- 1) - 2 | < \frac{8}{- 1}$

단계 12.2.3

좌변 $3$ 이 우변 $- 8$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.3

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$| (2) - 2 | < \frac{8}{2}$

단계 12.3.3

좌변 $0$ 이 우변 $4$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.4

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$| (6) - 2 | < \frac{8}{6}$

단계 12.4.3

좌변 $4$ 이 우변 $1.\overline{3}$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$0 < x < 4$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$0 < x < 4$

구간 표기:

$(0, 4)$

단계 15