대수 예제

$\sqrt[3]{x + 5} = x - 1$

단계 1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

단계 2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x + 5}$ 을(를) ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

단계 2.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

단계 2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(x + 5)}^{1} = {(x - 1)}^{3}$

단계 2.2.1.2

간단히 합니다.

$x + 5 = {(x - 1)}^{3}$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

${(x - 1)}^{3}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

이항정리 이용

$x + 5 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 2.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.2.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

단계 2.3.1.2.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

단계 2.3.1.2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

단계 2.3.1.2.4

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$x$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = x + 5$

단계 3.2

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x = 5$

단계 3.2.2

$3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = 5$

단계 3.3

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 - 5 = 0$

단계 3.4

$- 1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6 = 0$

단계 3.5

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.5.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{3} - 3 x^{2}) + 2 x - 6 = 0$

단계 3.5.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{2} (x - 3) + 2 (x - 3) = 0$

단계 3.5.2

최대공약수 $x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$

단계 3.6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

단계 3.7

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.7.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 3.7.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 3.8

$x^{2} + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.8.1

$x^{2} + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 2 = 0$

단계 3.8.2

$x^{2} + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.8.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 2$

단계 3.8.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

단계 3.8.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.8.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

단계 3.8.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

단계 3.8.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{2}$

단계 3.8.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.8.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{2}$

단계 3.8.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{2}$

단계 3.8.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

단계 3.9

$(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$