대수 예제

$f (x) = x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$

단계 1

$x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0$

단계 2.1.1.2

$- 6 x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0$

단계 2.1.1.3

$8 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + 6 x^{2} - 9 x = 0$

단계 2.1.1.4

$6 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + x (6 x) - 9 x = 0$

단계 2.1.1.5

$- 9 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 9 = 0$

단계 2.1.1.6

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} - 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 9 = 0$

단계 2.1.1.7

$x (x^{4} - 6 x^{3}) + x (8 x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 9 = 0$

단계 2.1.1.8

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2}) + x (6 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x) + x \cdot - 9 = 0$

단계 2.1.1.9

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x) + x \cdot - 9$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x - 9) = 0$

단계 2.1.2

항을 다시 묶습니다.

$x (- 6 x^{3} + 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

단계 2.1.3

$- 6 x^{3} + 6 x$ 에서 $- 6 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 6 x^{3}$ 에서 $- 6 x$ 를 인수분해합니다.

$x (- 6 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

단계 2.1.3.2

$6 x$ 에서 $- 6 x$ 를 인수분해합니다.

$x (- 6 x \cdot x^{2} - 6 x \cdot - 1 + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

단계 2.1.3.3

$- 6 x (x^{2}) - 6 x (- 1)$ 에서 $- 6 x$ 를 인수분해합니다.

$x (- 6 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

단계 2.1.4

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- 6 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

단계 2.1.5

인수분해합니다.

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단계 2.1.5.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$x (- 6 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

단계 2.1.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

단계 2.1.6

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9) = 0$

단계 2.1.7

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 8 u - 9) = 0$

단계 2.1.8

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 8 u - 9$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.8.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 9$ 이고 합은 $8$ 입니다.

$- 1, 9$

단계 2.1.8.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 9)) = 0$

단계 2.1.9

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

단계 2.1.10

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

단계 2.1.11

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

단계 2.1.12

$- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ 에서 $(x + 1) (x - 1)$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.12.1

$- 6 x (x + 1) (x - 1)$ 에서 $(x + 1) (x - 1)$ 를 인수분해합니다.

$x ((x + 1) (x - 1) (- 6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

단계 2.1.12.2

$(x + 1) (x - 1) (- 6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ 에서 $(x + 1) (x - 1)$ 를 인수분해합니다.

$x ((x + 1) (x - 1) (- 6 x + x^{2} + 9)) = 0$

단계 2.1.13

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x ((x + 1) (x - 1) (- 6 u + u^{2} + 9)) = 0$

단계 2.1.14

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.1.14.1

항을 다시 배열합니다.

$x ((x + 1) (x - 1) (u^{2} - 6 u + 9)) = 0$

단계 2.1.14.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x ((x + 1) (x - 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})) = 0$

단계 2.1.14.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

단계 2.1.14.4

다항식을 다시 씁니다.

$x ((x + 1) (x - 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

단계 2.1.14.5

$a = u$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$x ((x + 1) (x - 1) {(u - 3)}^{2}) = 0$

단계 2.1.15

인수분해합니다.

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단계 2.1.15.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x ((x + 1) (x - 1) {(x - 3)}^{2}) = 0$

단계 2.1.15.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x + 1) (x - 1) {(x - 3)}^{2} = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 2.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.4

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.6

${(x - 3)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.6.1

${(x - 3)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 2.6.2

${(x - 3)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.6.2.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.6.2.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.7

최종 해는 $x (x + 1) (x - 1) {(x - 3)}^{2} = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$x = 0$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - 1$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 1$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 3$ ( $2$ 의 중복도)

$x = 0$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - 1$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 1$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 3$ ( $2$ 의 중복도)

단계 3