대수 예제

$(\frac{x + 5}{x^{2} - 5 x} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{x^{2} - 25}{5}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{x + 5}{x^{2} - 5 x} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{5}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$(\frac{x + 5}{x^{2} - 5 x} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$x^{2} - 5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(\frac{x + 5}{x \cdot x - 5 x} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 2.1.2

$- 5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(\frac{x + 5}{x \cdot x + x \cdot - 5} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 2.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 5$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(\frac{x + 5}{x (x - 5)} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 2.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{x + 5}{x (x - 5)} - \frac{x}{x^{2} - 5^{2}}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 2.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$(\frac{x + 5}{x (x - 5)} - \frac{x}{(x + 5) (x - 5)}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + 5}{x (x - 5)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$(\frac{x + 5}{x (x - 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{x}{(x + 5) (x - 5)}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x}{(x + 5) (x - 5)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$(\frac{x + 5}{x (x - 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x}{x}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x (x - 5) (x + 5)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.1

$\frac{x + 5}{x (x - 5)}$ 에 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$(\frac{(x + 5) (x + 5)}{x (x - 5) (x + 5)} - \frac{x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x}{x}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 5.2

$\frac{x}{(x + 5) (x - 5)}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$(\frac{(x + 5) (x + 5)}{x (x - 5) (x + 5)} - \frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 5.3

$x (x - 5) (x + 5)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(\frac{(x + 5) (x + 5)}{x (x + 5) (x - 5)} - \frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 5.4

$(x + 5) (x - 5) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(\frac{(x + 5) (x + 5)}{x (x + 5) (x - 5)} - \frac{x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 5) (x + 5) - x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$x + 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(x + 5)}^{1} (x + 5) - x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 7.2

$x + 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1} - x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{(x + 5)}^{1 + 1} - x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 7.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{(x + 5)}^{2} - x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 7.5

$x \cdot x$ 을 $x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(x + 5)}^{2} - x^{2}}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 7.6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x + 5$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{(x + 5 + x) (x + 5 - x)}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 7.7

간단히 합니다.

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단계 7.7.1

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{(2 x + 5) (x + 5 - x)}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 7.7.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{(2 x + 5) (0 + 5)}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 7.7.3

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{(2 x + 5) \cdot 5}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 8

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 8.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1.1

$(2 x + 5) \cdot 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot (2 x + 5)}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 8.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot (2 x + 5)}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

단계 8.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x + 5}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot ((x + 5) (x - 5))$

단계 8.2

$(x + 5) (x - 5)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

$x (x + 5) (x - 5)$ 에서 $(x + 5) (x - 5)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x + 5}{(x + 5) (x - 5) (x)} \cdot ((x + 5) (x - 5))$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x + 5}{(x + 5) (x - 5) x} \cdot ((x + 5) (x - 5))$

단계 8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x + 5}{x}$