대수 예제

${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2} = 1$

단계 1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2}) = \ln (1)$

단계 2

왼편을 확장합니다.

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단계 2.1

$x^{2} - x - 2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2})$ 을 전개합니다.

$(x^{2} - x - 2) \ln (\frac{1}{2}) = \ln (1)$

단계 2.2

$\ln (\frac{1}{2})$ 을 $\ln (1) - \ln (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} - x - 2) (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (1)$

단계 2.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$(x^{2} - x - 2) (0 - \ln (2)) = \ln (1)$

단계 2.4

$0$ 에서 $\ln (2)$ 을 뺍니다.

$(x^{2} - x - 2) (- \ln (2)) = \ln (1)$

단계 3

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$(x^{2} - x - 2) (- \ln (2))$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} (- \ln (2)) - x (- \ln (2)) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

단계 3.1.2

간단히 합니다.

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단계 3.1.2.1

$- x (- \ln (2))$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.2.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- \ln (2)) + 1 x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

단계 3.1.2.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

단계 3.1.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

단계 3.1.3

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

단계 4

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = 0$

단계 5

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 6

이차함수의 근의 공식에 $a = - \ln (2)$ , $b = \ln (2)$ , $c = 2 \ln (2)$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) - 4 \cdot (- \ln (2) \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\ln^{2} (2) - 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ 에서 $\ln (2)$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.1.1

$\ln^{2} (2)$ 에서 $\ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) - 4 \cdot (- 1 \ln (2)) \cdot (2 \ln (2))}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.1.2

$- 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ 에서 $\ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.1.3

$\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))$ 에서 $\ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.2

$\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ 에서 $\ln (2)$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.2.1

$\ln (2)$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.2.2

$\ln^{1} (2)$ 에서 $\ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.2.3

$- 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ 에서 $\ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.2.4

$\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2)$ 에서 $\ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 - 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.3

$- 4 \cdot - 1 \cdot 2$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.3.1

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 4 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.3.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 8))}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.4

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.5

지수를 묶습니다.

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단계 7.1.5.1

$\ln (2)$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.5.2

$\ln (2)$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{\ln (2)}^{1 + 1} \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.5.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.6

$\ln^{2} (2) \cdot 9$ 을 ${(\ln (2) \cdot 3)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{(\ln (2) \cdot 3)}^{2}}}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \ln (2) \cdot 3}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.1.8

$\ln (2)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{2 (- \ln (2))}$

단계 7.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$

단계 7.3

$\frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

단계 8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = 2, - 1$