대수 예제

$(\frac{1}{(x - 1)} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \div \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} + x + 1}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} - 5 x + 4}$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 5 x + 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $4$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 4, - 1$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 3.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 3.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ 을 곱합니다.

$(\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{x - 1}$ 에 $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ 을 곱합니다.

$(\frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(\frac{x^{2} + x + 1 - 3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 5.3

$x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$(\frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 6.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 6.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 6.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$(\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 6.1.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(\frac{{(x - 1)}^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 6.2

${(x - 1)}^{2}$ 및 $x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

${(x - 1)}^{2}$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$(\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 6.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 7

항을 간단히 합니다.

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단계 7.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x - 1 - 3}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 7.2

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{x - 4}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 7.3

$x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x - 4}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

단계 7.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

단계 7.4

$x^{2} + x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

단계 7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x - 1}$