대수 예제

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

단계 1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, x, 1$

단계 1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x$

단계 2

$x + \frac{1}{x} \geq 2$ 의 각 항에 $x$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x + \frac{1}{x} \geq 2$ 의 각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \cdot x + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

단계 2.2.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

단계 2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

단계 3

부등식을 풉니다.

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단계 3.1

부등식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 1 - 2 x \geq 0$

단계 3.2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} + 1 - 2 x = 0$

단계 3.3

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.3.1

항을 다시 배열합니다.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

단계 3.3.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

단계 3.3.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 3.3.4

다항식을 다시 씁니다.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

단계 3.3.5

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3.4

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.5

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 4

$x + \frac{1}{x} - 2$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 4.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

단계 6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 6.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$(- 2) + \frac{1}{- 2} \geq 2$

단계 6.1.3

좌변 $- 2.5$ 이 우변 $2$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 6.2

$0 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$0 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0.5$

단계 6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0.5$ 로 치환합니다.

$(0.5) + \frac{1}{0.5} \geq 2$

단계 6.2.3

좌변 $2.5$ 가 우변 $2$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 6.3

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.3.1

$x > 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$(4) + \frac{1}{4} \geq 2$

단계 6.3.3

좌변 $4.25$ 가 우변 $2$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 0$ 거짓

$0 < x < 1$ 참

$x > 1$ 참

$x < 0$ 거짓

$0 < x < 1$ 참

$x > 1$ 참

단계 7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$0 < x \leq 1$ 또는 $x \geq 1$

단계 8

구간을 조합합니다.

$x > 0$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x > 0$

구간 표기:

$(0, \infty)$

단계 10