대수 예제

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 3 x - 60}{h (x)}$

단계 1

식 $\frac{3 (x - 5) (x + 4)}{h x}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = 0$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 2$

$m = 1$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$3 x^{2} - 3 x - 60$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2}) - 3 x - 60}{h x}$

단계 5.1.1.2

$- 3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) - 60}{h x}$

단계 5.1.1.3

$- 60$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (- 20)}{h x}$

단계 5.1.1.4

$3 (x^{2}) + 3 (- x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2} - x) + 3 (- 20)}{h x}$

단계 5.1.1.5

$3 (x^{2} - x) + 3 (- 20)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2} - x - 20)}{h x}$

단계 5.1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 20$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 20$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 5, 4$

단계 5.1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{3 ((x - 5) (x + 4))}{h x}$

$\frac{3 (x - 5) (x + 4)}{h x}$

단계 5.2

$3 (x - 5) (x + 4)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 5) (x + 4)}{h x}$

단계 5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x (x + 4) + 3 \cdot (- 5 (x + 4))}{h x}$

단계 5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot 4 + 3 \cdot (- 5 (x + 4))}{h x}$

단계 5.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot 4 + 3 \cdot (- 5 x) + 3 \cdot - 5 \cdot 4}{h x}$

단계 5.2.5

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x \cdot x + 3 \cdot (4 x) + 3 \cdot (- 5 x) + 3 \cdot - 5 \cdot 4}{h x}$

단계 5.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (4 x) + 3 \cdot (- 5 x) + 3 \cdot - 5 \cdot 4}{h x}$

단계 5.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (4 x) + 3 \cdot (- 5 x) + 3 \cdot - 5 \cdot 4}{h x}$

단계 5.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (4 x) + 3 \cdot (- 5 x) + 3 \cdot - 5 \cdot 4}{h x}$

단계 5.2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot (4 x) + 3 \cdot (- 5 x) + 3 \cdot - 5 \cdot 4}{h x}$

단계 5.2.10

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 5 x) + 3 \cdot - 5 \cdot 4}{h x}$

단계 5.2.11

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 12 x - 15 x + 3 \cdot - 5 \cdot 4}{h x}$

단계 5.2.12

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 12 x - 15 x - 15 \cdot 4}{h x}$

단계 5.2.13

$- 15$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 12 x - 15 x - 60}{h x}$

단계 5.2.14

$12 x$ 에서 $15 x$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 60}{h x}$

단계 5.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$h x$

$0$

$3 x^{2}$

$3 x$

$60$

단계 5.4

피제수 $3 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $h x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$\frac{3 x}{h}$
	$h x$	+	$0$		$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$60$

단계 5.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{3 x}{h}$
$h x$	+	$0$		$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$60$
			+	$3 x^{2}$	+	$0$

단계 5.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 x^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{3 x}{h}$
$h x$	+	$0$		$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$60$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$

단계 5.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{3 x}{h}$
$h x$	+	$0$		$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$60$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$

단계 5.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$\frac{3 x}{h}$
$h x$	+	$0$		$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$60$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$	-	$60$

단계 5.9

피제수 $- 3 x$ 의 고차항을 제수 $h x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$\frac{3 x}{h}$	-	$\frac{3}{h}$
$h x$	+	$0$		$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$60$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$	-	$60$

단계 5.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{3 x}{h}$	-	$\frac{3}{h}$
$h x$	+	$0$		$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$60$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$	-	$60$
					-	$3 x$	+	$0$

단계 5.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 3 x + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{3 x}{h}$	-	$\frac{3}{h}$
$h x$	+	$0$		$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$60$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$	-	$60$
					+	$3 x$	-	$0$

단계 5.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{3 x}{h}$	-	$\frac{3}{h}$
$h x$	+	$0$		$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$60$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					-	$3 x$	-	$60$
					+	$3 x$	-	$0$
							-	$60$

단계 5.13

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{3 x}{h} - \frac{3}{h} - \frac{60}{h x}$

단계 5.14

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = \frac{3 x}{h} - \frac{3}{h}$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = 0$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = \frac{3 x}{h} - \frac{3}{h}$

단계 7