대수 예제

$\frac{3 x}{x - 1} \leq \frac{x}{x + 4} + 3$

단계 1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

부등식의 양변에서 $\frac{x}{x + 4}$ 를 뺍니다.

$\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} \leq 3$

단계 1.2

부등식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} - 3 \leq 0$

단계 2

$\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} - 3$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3 x}{x - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4} - 3 \leq 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x}{x + 4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 3 \leq 0$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - 1) (x + 4)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{3 x}{x - 1}$ 에 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} - \frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 3 \leq 0$

단계 2.3.2

$\frac{x}{x + 4}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} - \frac{x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.3.3

$(x - 1) (x + 4)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 x (x + 4) - x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$3 x (x + 4) - x (x - 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.5.1.1

$3 x (x + 4)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 (x + 4)) - x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.5.1.2

$- x (x - 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 (x + 4)) + x (- (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.5.1.3

$x (3 (x + 4)) + x (- (x - 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 (x + 4) - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (3 x + 3 \cdot 4 - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.5.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{x (3 x + 12 - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (3 x + 12 - x - - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.5.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (3 x + 12 - x + 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.5.6

$3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x (2 x + 12 + 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.5.7

$12$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \cdot \frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.7

$- 3$ 와 $\frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} + \frac{- 3 ((x + 4) (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (2 x + 13) - 3 ((x + 4) (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 13 - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 13 - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.3

$x$ 의 왼쪽으로 $13$ 이동하기

$\frac{2 x \cdot x + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.9.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 x + (- 3 x - 3 \cdot 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.6

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 x + (- 3 x - 12) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.7

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 3 x - 12) (x - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 2.9.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x (x - 1) - 12 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 12 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.8

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.9.8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.9.8.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.9.8.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.8.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.8.1.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} + 3 x - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.8.1.3

$- 12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} + 3 x - 12 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.8.2

$3 x$ 에서 $12 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} - 9 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.9

$2 x^{2}$ 에서 $3 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 13 x - 9 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.10

$13 x$ 에서 $9 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.11

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.9.11.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ 이고 합이 $b = 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.9.11.1.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} + 4 (x) + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.11.1.2

$4$ 를 $- 2$ + $6$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} + (- 2 + 6) x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.11.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 6 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.11.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.9.11.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.11.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (- x - 2) - 6 (- x - 2)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.9.11.3

최대공약수 $- x - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x - 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.10

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (x) - 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.11

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.12

$- (x) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.13

$- (x + 2)$ 을 $- 1 (x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 2.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 5

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 6

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 7

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - 2$

$x = 6$

$x = - 4$

$x = 1$

단계 9

해를 하나로 합합니다.

$x = - 2, 6, - 4, 1$

단계 10

$- \frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(x + 4) (x - 1) = 0$

단계 10.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 10.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 10.2.2

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.2.2.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 10.2.2.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 10.2.3

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.2.3.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 10.2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 10.2.4

$(x + 4) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 4, 1$

단계 10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 12.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (- 6)}{(- 6) - 1} \leq \frac{- 6}{(- 6) + 4} + 3$

단계 12.1.3

좌변 $2.\overline{571428}$ 이 우변 $6$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.2

$- 4 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.2.1

$- 4 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 3$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (- 3)}{(- 3) - 1} \leq \frac{- 3}{(- 3) + 4} + 3$

단계 12.2.3

좌변 $2.25$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 12.3

$- 2 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.3.1

$- 2 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (0)}{(0) - 1} \leq \frac{0}{(0) + 4} + 3$

단계 12.3.3

좌변 $0$ 이 우변 $3$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.4

$1 < x < 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$1 < x < 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (4)}{(4) - 1} \leq \frac{4}{(4) + 4} + 3$

단계 12.4.3

좌변 $4$ 이 우변 $3.5$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 12.5

$x > 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 12.5.1

$x > 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 12.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (8)}{(8) - 1} \leq \frac{8}{(8) + 4} + 3$

단계 12.5.3

좌변 $3.\overline{428571}$ 이 우변 $3.\overline{6}$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 1$ 참

$1 < x < 6$ 거짓

$x > 6$ 참

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 1$ 참

$1 < x < 6$ 거짓

$x > 6$ 참

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 4$ 또는 $- 2 \leq x < 1$ 또는 $x \geq 6$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x < - 4 or - 2 \leq x < 1 or x \geq 6$

구간 표기:

$(- \infty, - 4) \cup [- 2, 1) \cup [6, \infty)$

단계 15