대수 예제

$\frac{x}{x^{2} + 1} \leq 1$

단계 1

부등식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \leq 0$

단계 2

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.2

$- 1$ 와 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x - (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.5

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2}) + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.6

$x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.7

$- (x^{2}) - 1 (- x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} - x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.8

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x^{2} - x) - 1 (1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.9

$- (x^{2} - x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.10

$- (x^{2} - x + 1)$ 을 $- 1 (x^{2} - x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

단계 4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 5

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 8

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 9

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 10

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 11

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 11.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 11.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 11.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 12

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = i, - i$

단계 13

$- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ 이 다항식이 아니므로 선행계수를 결정할 수 없습니다.

다항식 아님

단계 14

x절편이 실수가 아니고 최고차항 계수가 양수이므로 포물선은 위로 열리며 $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ 은 항상 $0$ 보다 큽니다.

해 없음