대수 예제

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \div (\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}})$

단계 1

나눗셈을 분수로 다시 씁니다.

$\frac{\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

단계 2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

단계 3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

단계 4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

단계 5

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 5.1

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

단계 5.2

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}}$

단계 5.3

$a = x$ 이고 $b = y$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

단계 6

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

단계 6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + y}{x + y}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

단계 6.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y - x}{y - x}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

단계 6.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(y - x) {(x + y)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.4.1

$\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ 에 $\frac{x + y}{x + y}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{(x + y) (y - x) (x + y)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

단계 6.4.2

$x + y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} (x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

단계 6.4.3

$x + y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

단계 6.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1 + 1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

단계 6.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

단계 6.4.6

$\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ 에 $\frac{y - x}{y - x}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

단계 6.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

단계 6.6

인수분해된 형태로 $\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ 를 다시 씁니다.

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단계 6.6.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y + 0}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

단계 6.6.2

$y + y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

단계 6.6.3

$y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

조합합니다.

$\frac{4 x y \cdot 1}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

단계 7.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

단계 8

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$ 에서 $\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y} \cdot \frac{4 x y}{(y + x) (y - x)}$

단계 9

조합합니다.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

단계 10

$y - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

단계 10.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(x + y)}^{2} (4 x y)}{2 y (y + x)}$

단계 11

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.1

${(x + y)}^{2} (4 x y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 y (y + x)}$

단계 11.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.1

$2 y (y + x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

단계 11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

단계 11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

단계 12

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

단계 12.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{y + x}$

단계 13

${(x + y)}^{2}$ 및 $y + x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{x + y}$

단계 13.2

${(x + y)}^{2} (2 x)$ 에서 $x + y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{x + y}$

단계 13.3

공약수로 약분합니다.

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단계 13.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

단계 13.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

단계 13.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x + y) (2 x)}{1}$

단계 13.3.4

$(x + y) (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(x + y) (2 x)$

단계 14

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x) + y (2 x)$

단계 15

다시 정렬합니다.

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단계 15.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 x \cdot x + y (2 x)$

단계 15.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 x \cdot x + 2 y x$

단계 16

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 16.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 (x \cdot x) + 2 y x$

단계 16.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} + 2 y x$