대수 예제

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} < \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4}$

단계 1

양변에 $x^{2} + 2 x$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{2} + 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

단계 2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

단계 2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

단계 2.2.1.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

단계 2.2.1.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

단계 2.2.1.1.4

$a = x$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$12 = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} (x^{2} + 2 x)$

단계 2.2.1.2

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ 에 $x^{2} + 2 x$ 을 곱합니다.

$12 = \frac{3 (x^{2} + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.1.3

$x^{2} + 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$12 = \frac{3 (x \cdot x + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.1.3.2

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$12 = \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.1.3.3

$x \cdot x + x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$12 = \frac{3 (x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

$12 = \frac{3 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.1.4

$x + 2$ 및 ${(x + 2)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.4.1

$3 x (x + 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.4.2.1

${(x + 2)}^{2}$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

단계 2.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

단계 2.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$12 = \frac{3 x}{x + 2}$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x + 2, 1$

단계 3.2.2

괄호를 제거합니다.

$x + 2, 1$

단계 3.2.3

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x + 2$

단계 3.3

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$ 의 각 항에 $x + 2$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$ 의 각 항에 $x + 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$x + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

단계 3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3 x = 12 (x + 2)$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x = 12 x + 12 \cdot 2$

단계 3.3.3.2

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 x = 12 x + 24$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

방정식의 양변에서 $12 x$ 를 뺍니다.

$3 x - 12 x = 24$

단계 3.4.1.2

$3 x$ 에서 $12 x$ 을 뺍니다.

$- 9 x = 24$

단계 3.4.2

$- 9 x = 24$ 의 각 항을 $- 9$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 9 x = 24$ 의 각 항을 $- 9$ 로 나눕니다.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

단계 3.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

$- 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

단계 3.4.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{24}{- 9}$

단계 3.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1

$24$ 및 $- 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1.1

$24$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{3 (8)}{- 9}$

단계 3.4.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1.2.1

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

단계 3.4.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

단계 3.4.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{8}{- 3}$

단계 3.4.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{8}{3}$

단계 4

$\frac{12}{x (x + 2)} - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{12}{x (x + 2)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x (x + 2) = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

단계 4.2.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 4.2.3

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 4.2.3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 4.2.4

$x (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2$

단계 4.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

단계 4.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 4.4.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 4.5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

단계 6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x < - \frac{8}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x < - \frac{8}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 5$

단계 6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 5$ 로 치환합니다.

$\frac{12}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5)} < \frac{3}{{(- 5)}^{2} + 4 (- 5) + 4}$

단계 6.1.3

좌변 $0.8$ 이 우변 $0.\overline{3}$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 6.2

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2.33$

단계 6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2.33$ 로 치환합니다.

$\frac{12}{{(- 2.33)}^{2} + 2 (- 2.33)} < \frac{3}{{(- 2.33)}^{2} + 4 (- 2.33) + 4}$

단계 6.2.3

좌변 $15.60671088$ 이 우변 $27.54820936$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 6.3

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1$

단계 6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1$ 로 치환합니다.

$\frac{12}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < \frac{3}{{(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 4}$

단계 6.3.3

좌변 $- 12$ 이 우변 $3$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 6.4

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 6.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\frac{12}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < \frac{3}{{(2)}^{2} + 4 (2) + 4}$

단계 6.4.3

좌변 $1.5$ 이 우변 $0.1875$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 6.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \frac{8}{3}$ 거짓

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ 참

$- 2 < x < 0$ 참

$x > 0$ 거짓

$x < - \frac{8}{3}$ 거짓

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ 참

$- 2 < x < 0$ 참

$x > 0$ 거짓

단계 7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ 또는 $- 2 < x < 0$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- \frac{8}{3} < x < - 2 or - 2 < x < 0$

구간 표기:

$(- \frac{8}{3}, - 2) \cup (- 2, 0)$

단계 9