대수 예제

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 21 x^{2} + 100 x - 100$

단계 1

항을 다시 묶습니다.

$f (x) = - 4 x^{3} + 100 x + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

단계 2

$- 4 x^{3} + 100 x$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} + 100 x + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

단계 2.2

$100 x$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 25 + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

단계 2.3

$- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 25)$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 25) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

단계 3

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 5^{2}) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

단계 4

인수분해합니다.

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단계 4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$f (x) = - 4 x ((x + 5) (x - 5)) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

단계 4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

단계 5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} - 100$

단계 6

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + u^{2} - 21 u - 100$

단계 7

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 21 u - 100$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 100$ 이고 합은 $- 21$ 입니다.

$- 25, 4$

단계 7.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (u - 25) (u + 4)$

단계 8

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 25) (x^{2} + 4)$

단계 9

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 4)$

단계 10

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$

단계 11

$- 4 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$ 에서 $(x + 5) (x - 5)$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.1

$- 4 x (x + 5) (x - 5)$ 에서 $(x + 5) (x - 5)$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 4 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$

단계 11.2

$(x + 5) (x - 5) (- 4 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$ 에서 $(x + 5) (x - 5)$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 4 x + x^{2} + 4)$

단계 12

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 4 u + u^{2} + 4)$

단계 13

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 13.1

항을 다시 배열합니다.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (u^{2} - 4 u + 4)$

단계 13.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (u^{2} - 4 u + 2^{2})$

단계 13.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

단계 13.4

다항식을 다시 씁니다.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})$

단계 13.5

$a = u$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) {(u - 2)}^{2}$

단계 14

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) {(x - 2)}^{2}$