대수 예제

$y = \sqrt{x^{2} - 4}$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \sqrt{y^{2} - 4}$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

$\sqrt{y^{2} - 4} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sqrt{y^{2} - 4} = x$

단계 2.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{y^{2} - 4}}^{2} = x^{2}$

단계 2.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y^{2} - 4}$ 을(를) ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1.1

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

단계 2.3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

단계 2.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(y^{2} - 4)}^{1} = x^{2}$

단계 2.3.2.1.2

간단히 합니다.

$y^{2} - 4 = x^{2}$

단계 2.4

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$y^{2} = x^{2} + 4$

단계 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 4}$

단계 2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.4.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

단계 2.4.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

단계 2.4.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ 가 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 4.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ 및 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 4.2

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ 의 범위를 구합니다.

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단계 4.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

단계 4.3

$\sqrt{x^{2} + 4}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 4.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x^{2} + 4}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 4 \geq 0$

단계 4.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.3.2.1

부등식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x^{2} \geq - 4$

단계 4.3.2.2

좌변이 짝수의 지수를 가지므로 모든 실수에 대해 항상 양입니다.

모든 실수

단계 4.3.3

정의역은 모든 실수입니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 4.4

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ 의 정의역이 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ 의 치역이 아니면 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ 는 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ 의 역함수가 아닙니다.

역함수가 없음

단계 5