대수 예제

$\frac{8 x^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \div \frac{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{8 x^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$8 x^{3}$ 을 ${(2 x)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(2 x)}^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 2.2

$125 y^{3}$ 을 ${(5 y)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(2 x)}^{3} - {(5 y)}^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 2.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 x$ 이고 $b = 5 y$ 입니다.

$\frac{(2 x - (5 y)) ({(2 x)}^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 2.4.2

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x - 5 y) (2^{2} x^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 2.4.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 2.4.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 2 \cdot 5 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 2.4.5

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 2.4.6

$5 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 5^{2} y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 2.4.7

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1.1

$(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2})$ 에서 $4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}) (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}) (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x - 5 y}{{(2 x + 5 y)}^{3}} (4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2})$

단계 3.2

$\frac{2 x - 5 y}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$ 에 $4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

단계 4

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 4.1

$4 x^{2}$ 을 ${(2 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 20 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

단계 4.2

$25 y^{2}$ 을 ${(5 y)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 20 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

단계 4.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$20 x y = 2 \cdot (2 x) \cdot (5 y)$

단계 4.4

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

단계 4.5

$a = 2 x$ 이고 $b = 5 y$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{(2 x - 5 y) {(2 x + 5 y)}^{2}}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

단계 5

${(2 x + 5 y)}^{2}$ 및 ${(2 x + 5 y)}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

$(2 x - 5 y) {(2 x + 5 y)}^{2}$ 에서 ${(2 x + 5 y)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

단계 5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

${(2 x + 5 y)}^{3}$ 에서 ${(2 x + 5 y)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x + 5 y)}$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x + 5 y)}$

단계 5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x - 5 y}{2 x + 5 y}$