대수 예제

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 1.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.1

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 3.2

$(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$3 x^{2} (x - 1) - x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1.1

$3 x^{2} (x - 1)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 5.1.2

$- x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 5.1.3

$x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (3 (x - 1) - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (3 x + 3 \cdot - 1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (3 x - 3 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 5.4

$3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2 x}{x - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$

단계 7

항을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{2 x}{x - 1}$ 에 $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.1.1

$x^{2} (2 x - 3)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.1.2

$- 2 x (x^{2} + x + 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.1.3

$x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.4

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{x (2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x (2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.7

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.8

$2 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x (- 3 x + 0 - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.9

$- 3 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x (- 3 x - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 8.10

$- 3 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x (- 5 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 9

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 5 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (5 x) - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 9.2

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- (5 x) - 1 (2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 9.3

$- (5 x) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 9.4

식을 간단히 합니다.

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단계 9.4.1

$- (5 x + 2)$ 을 $- 1 (5 x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- 1 (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

단계 9.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x (5 x + 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$